Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2013 en Polynésie
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On considère la suite![](/image/im000102.png)
![](/image/im000855.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005289.png)
1.a. Calculer
![](/image/im000272.png)
![](/image/im000270.png)
![](/image/im005290.png)
![](/image/im005291.png)
b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005292.png)
Initilisation au rang 0
; donc on a bien
.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang
, c'est à dire qu'on suppose que
.
D'une part,
;
d'autre part,
.
Donc le quotient
, soit
.
Ainsi la propriété est également vraie au rang
ce qui montre l'hérédité.
La propriété étant vraie au rang 0 et étant héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel
.
2. On admet que, pour tout entier naturel ![](/image/im000855.png)
![](/image/im005293.png)
![](/image/im000307.png)
![](/image/im003332.png)
![](/image/im005294.png)
![](/image/im005295.png)
![](/image/im005296.png)
![](/image/im003333.png)
![](/image/im000093.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005297.png)
![](/image/im000102.png)
Pour tout entier naturel
:
On sait que
, donc
et
;
on sait que
, donc
.
Tous les facteurs du quotient sont strictement positifs, donc le quotient aussi et il s'ensuit que la suite
est strictement croissante.
b. Démontrer que la suite ![](/image/im000061.png)
![](/image/im005298.png)
![](/image/im003230.png)
![](/image/im005299.png)
![](/image/im005300.png)
![](/image/im005297.png)
![](/image/im005301.png)
![](/image/im000102.png)
![](/image/im000102.png)
La suite
est croissante et majorée par 1 donc elle est convergente (théorème de convergence monotone).
3. Soit ![](/image/im000102.png)
![](/image/im000296.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005302.png)
![](/image/im000296.png)
Pour tout entier naturel
:
Donc la suite
est bien une suite géométrique de raison 3.
b. Exprimer pour tout entier naturel ![](/image/im000061.png)
![](/image/im005303.png)
![](/image/im000296.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im001493.png)
![](/image/im000061.png)
Le premier terme de la suite géométrique mise en évidence dans la question précédente est :
.
Donc
.
c. En déduire que, pour tout entier naturel ![](/image/im005304.png)
![](/image/im005305.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005306.png)
Pour tout entier naturel
on a :
En remplaçant
par sa formule explicite il vient :
d. Déterminer la limite de la suite ![](/image/im000061.png)
![](/image/im005307.png)
![](/image/im001493.png)
![](/image/im005308.png)
![](/image/im000102.png)
On a une forme indéterminée mais on peut écrire :
car
; par inverse :
.
Donc
et en inversant,
.
![](/image/im005309.png)
![](/image/im003523.png)
![](/image/im003524.png)
![](/image/im005310.png)
![](/image/im005311.png)
![](/image/im005312.png)