Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2013 en Polynésie

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 Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.
L'ensemble des morceaux musicaux qu'il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante :
30 % de musique classique, 45 % de variété, le reste étant du jazz.
Thomas a utilisé deux qualités d'encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage haute qualité et un encodage standard. On sait que :

 

 

On considérera les événements suivants :
C : « Le morceau écouté est un morceau de musique classique » ;
V : « Le morceau écouté est un morceau de variété » ;
J : « Le morceau écouté est un morceau de jazz » ;
H : « Le morceau écouté est encodé en haute qualité » ;
S : « Le morceau écouté est encodé en qualité standard ».

Partie 1

Thomas décide d'écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction « lecture aléatoire ».
On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.
1. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?
D'après la formule des probabilités composées (principe de multiplication des probabilités sur les branches de l'arbre) on a :
.

 

 

2. On sait que .
a. Les événements C et H sont-ils indépendants ?
Pour savoir si C et H sont indépendants on compare avec .
Ainsi , donc les événements C et H ne sont pas indépendants.
b. Calculer et .
Les événements C, V et J forment une partition de l'univers donc la formule des probabilités totales donne :
En remplaçant par les données connues il vient :
D'où
Enfin pour terminer : .

Partie 2

Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction « lecture aléatoire » de son MP3, 60 morceaux de musique.
1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.
On utilise directement l'intervalle vu en cours :
avec et .
On peut remarquer que les conditions usuelles d'utilisation sont vérifiées :
  • , donc
  • , donc
  • , donc
En remplaçant et par leurs valeurs l'intervalle obtenu est :
2. Thomas a comptabilisé qu'il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction « lecture aléatoire » du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?
La proportion de morceaux de musique classique observée sur l'échantillon de Thomas est .
, donc on ne peut pas penser que la fonction « lecture aléatoire » du lecteur est défectueuse.

Partie 3

On considère la variable aléatoire qui, à chaque chanson stockée sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart-type 20.
On pourra utiliser le tableau fourni ci-dessous dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
1. Donner une valeur approchée à près de .
.
2. Donner une valeur approchée à près de la probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes.
4 minutes correspondent à 240 secondes dont on calcule :
.

 

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