Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de juin 2013 en Polynésie
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On considère la fonction![](/image/im000063.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im005210.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000063.png)
1. Etude de la fonction
![](/image/im000063.png)
![](/image/im001096.png)
Axe des abscisses
On résout l'équation :
Donc
coupe l'axe des abscisses en
.
Axe des ordonnées
Il suffit de calculer
.
Donc
coupe l'axe des ordonnées en
.
b. Etudier les limites de la fonction ![](/image/im005211.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im005212.png)
![](/image/im005213.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im005214.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000388.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im001096.png)
Limite en
.
Limite en
On est en présence d'une forme indéterminée et on écrit :
.
Ce résultat de limite permet de dire que la courbe
admet comme asymptote l'axe des abscisses en
.
![](/image/im000388.png)
-
-
et par composition
![](/image/im005216.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im005217.png)
-
(limite connue)
-
et par composée
; en multipliant par 2 :
![](/image/im001659.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000017.png)
c. Etudier les variations de la fonction
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000243.png)
La fonction
est dérivable sur
et on a en utilisant la relation de la dérivée d'un produit :
Comme pour tout
,
, le signe de
est le même que celui de
ce qui donne le tableau de
variations :
2. Calcul d'une valeur approchée de l'aire sous une courbe.
On note ![](/image/im000063.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im005220.png)
![](/image/im001116.png)
![](/image/im002396.png)
![](/image/im001118.png)
![](/image/im003981.png)
![](/image/im005221.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000847.png)
![](/image/im000213.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im000072.png)
- sur l'intervalle
, on construit un rectangle de hauteur
- sur l'intervalle
, on construit un rectangle de hauteur
- sur l'intervalle
, on construit un rectangle de hauteur
- sur l'intervalle
on construit un rectangle de hauteur
.
![](/image/im005230.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im005231.png)
![](/image/im000800.png)
L'algorithme présenté calcule la somme des aires des rectangles considérés c'est à dire :
b. Dans cette question, ![](/image/im005232.png)
![](/image/im002248.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im002248.png)
![](/image/im002248.png)
En découpant en
intervalles chaque intervalle a une longueur de
et on fait varier
de 0 à
ce qui donne l'algorithme :
3. Calcul de la valeur exacte de l'aire sous une courbe.
Soit ![](/image/im002248.png)
![](/image/im005233.png)
![](/image/im000326.png)
![](/image/im005234.png)
![](/image/im005235.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im005236.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im000219.png)
![](/image/im000140.png)
On remarque, par lecture du tableau de variations, que sur
,
, donc l'aire du domaine
en unités d'aire s'obtient en
calculant :
b. Donner une valeur approchée à ![](/image/im000072.png)
![](/image/im002753.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im005237.png)
![](/image/im000800.png)
![](/image/im000219.png)
![](/image/im005238.png)
![](/image/im000800.png)
![](/image/im000800.png)
![](/image/im005239.png)