Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2012 en Polynésie
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Partie A
On considère l'algorithme suivant : Les variables sont le réel U et les entiers k et N. Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N Traitement Affecter à U la valeur 0 Pour k allant de 0 à N-1 Affecter à U la valeur 3U-2k+3 Fin pour Sortie Afficher U Quel est l'affichage en sortie lorsque N=3 ?
Pour N=3, la boucle est executée 3 fois (k prend successivement les valeurs 0, 1 et 2).
- Itération 1 : U
- Itération 2 : U
- Itération 3 : U
Partie B
On considère la suite![](/image/im000102.png)
![](/image/im002919.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im002920.png)
![](/image/im000272.png)
![](/image/im000270.png)
![](/image/im002921.png)
![](/image/im002922.png)
2.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
![](/image/im002923.png)
La propriété à montrer pour tout entier naturel
est
: "
".
Initialisation
et on a
, donc
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang
, c'est à dire que :
.
On cherche à montrer, qu'alors,
est vraie.
On part de l'hypothèse de récurrence :
Donc
est vraie.
Ainsi la propriété est initialisée au rang 0 et elle héréditaire, donc selon le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel
.
b. En déduire la limite de la suite ![](/image/im000061.png)
![](/image/im000353.png)
![](/image/im002923.png)
![](/image/im002919.png)
![](/image/im002924.png)
![](/image/im001932.png)
![](/image/im000307.png)
![](/image/im002925.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im002926.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000102.png)
On a
et pour tout entier naturel
,
,
donc par comparaison
.
3. Démontrer que la suite ![](/image/im002927.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im002923.png)
![](/image/im001731.png)
![](/image/im000102.png)
Pour tout entier naturel
, on a :
Comme pour tout entier naturel
on a vu que
il vient :
, puis
et enfin
.
Donc
ce qui prouve que la suite
est croissante.
4. Soit la suite ![](/image/im000061.png)
![](/image/im002928.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im002923.png)
![](/image/im002929.png)
![](/image/im002930.png)
![](/image/im002931.png)
![](/image/im000741.png)
![](/image/im000102.png)
![](/image/im000296.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im002932.png)
![](/image/im000296.png)
Pour tout entier naturel
, on a :
Donc la suite
est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme
.
b. En déduire, que pour tout entier naturel ![](/image/im000061.png)
![](/image/im002933.png)
![](/image/im000296.png)
![](/image/im002934.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im002935.png)
En utilisant la question précédente on a :
avec
(formule explicite de la suite géométrique).
D'où
.
5. Soit ![](/image/im002936.png)
![](/image/im002937.png)
![](/image/im002935.png)
![](/image/im000745.png)
![](/image/im000248.png)
![](/image/im000398.png)
![](/image/im002938.png)
La suite
diverge vers
donc par définition de la limite étant donné un réel M quelconque, tous les termes de la suite
sont
supérieurs à M à partir d'un certain rang. En prenant M
on peut exprimer cela par l'existence d'au moins un entier
tel que pour tout
,
.
On s'intéresse maintenant au plus petit entier ![](/image/im000102.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im000102.png)
![](/image/im002939.png)
![](/image/im000248.png)
![](/image/im000398.png)
![](/image/im002938.png)
![](/image/im000248.png)
![](/image/im002940.png)
Pour tout entier
:
Comme
,
et du coup on a
.
Comme
est croissante pour tout entier
, on a
, donc le plus petit entier
qui permette de réaliser la condition sera tel que
.
c. Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier ![](/image/im002941.png)
![](/image/im002942.png)
![](/image/im002941.png)
![](/image/im002943.png)
![](/image/im002944.png)
![](/image/im000102.png)
![](/image/im002945.png)
![](/image/im002946.png)
![](/image/im000248.png)
![](/image/im002940.png)
![](/image/im000248.png)
![](/image/im002947.png)
On a
et
, donc pour
,
.
d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de ![](/image/im002948.png)
![](/image/im002949.png)
![](/image/im002947.png)
![](/image/im002950.png)
![](/image/im000745.png)
![](/image/im000248.png)
![](/image/im000398.png)
![](/image/im002938.png)
Variables
U est un réel
p est un entier
n est un entier
Initialisation
U:= 0
n:= 0
Entrée
Saisir p (entier strictement positif)
Traitement
Tant que U<
faire
n:= n+1
U:= 3
+n-1
Fin tant que
Sortie
Afficher n.
![](/image/im002951.png)
![](/image/im002952.png)