Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de juin 2012 en Polynésie
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Le plan est rapporté à un repère orthonormal![](/image/im001701.png)
![](/image/im002862.png)
![](/image/im002863.png)
![](/image/im001574.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im000787.png)
![](/image/im002864.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im000328.png)
- pour tout
réel,
- les points B et C appartiennent à la courbe
.
1.a. Montrer que le couple
![](/image/im002866.png)
![](/image/im002867.png)
La courbe de la fonction
passe par le point B, donc
, ce qui donne :
De même la courbe
passe par C, donc
, donc on a :
Donc le couple
est bien solution du système proposé.
![](/image/im000063.png)
![](/image/im002868.png)
![](/image/im002869.png)
![](/image/im000787.png)
![](/image/im002870.png)
![](/image/im002871.png)
![](/image/im002866.png)
b. En déduire que pour tout
![](/image/im000153.png)
![](/image/im002872.png)
On résout le système précédent pour déterminer
et
.
Donc on a bien
.
2. Déterminer la limite de ![](/image/im000329.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im002873.png)
![](/image/im002874.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im002875.png)
![](/image/im002876.png)
![](/image/im002877.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im002878.png)
Pour tout réel
, on a :
b. En déduire la limite de ![](/image/im000153.png)
![](/image/im002879.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000388.png)
On utilise l'expression précédente de
et on pose
.
, donc on a :
(par croissances comparées).
Finalement en multipliant par
,
.
4. Etudier les variations de la fonction ![](/image/im000178.png)
![](/image/im002880.png)
![](/image/im002881.png)
![](/image/im002882.png)
![](/image/im002883.png)
![](/image/im001412.png)
![](/image/im000063.png)
La fonction
est dérivable sur
.
avec :
En utilisant la formule de dérivation d'un produit on obtient :
Pour tout
, le signe de la dérivée est le même que celui de
.
Ce binôme du premier degré s'annule pour
et on a le tableau de variations :
Détail du calcul de
.
5. Etudier la position relative de la courbe ![](/image/im000063.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im002884.png)
![](/image/im000184.png)
![](/image/im000189.png)
![](/image/im002885.png)
![](/image/im002886.png)
![](/image/im002887.png)
![](/image/im001116.png)
![](/image/im002888.png)
![](/image/im002889.png)
![](/image/im002890.png)
![](/image/im002891.png)
![](/image/im002892.png)
![](/image/im000787.png)
Pour faire cette étude on regarde le signe de
.
Etudions le signe de
, en résolvant, par exemple,
.
On a de même
et
.
Du coup on a le tableau de signes :
On en déduit que :
6.a. On admet que ![](/image/im002893.png)
![](/image/im002894.png)
![](/image/im002895.png)
![](/image/im002896.png)
![](/image/im002897.png)
![](/image/im002898.png)
![](/image/im002899.png)
- pour
, la courbe
est au dessus de (D),
- pour
, la courbe
est en dessous de (D),
- pour
, la courbe
est au dessus de (D),
- pour
et pour
, les courbes
et (D) se coupent.
![](/image/im002904.png)
Dans le sujet original, les élèves doivent calculer cette intégrale en utilisant une intégration par parties.
Cette méthode d'intégration n'est plus au programme à compter de la rentrée 2012.
b. On désigne par A l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par les droites d'équations ![](/image/im000847.png)
![](/image/im002903.png)
![](/image/im000787.png)
On a vu que sur
, la courbe
est située en dessous de (D), donc l'aire du domaine en unités d'aire vaut :
![](/image/im002905.png)
![](/image/im000787.png)
![](/image/im002906.png)