Corrigé de l'exercice 4 de maths du bac S de juin 2011 en Polynésie
On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.
.
On note K le barycentre des points pondérés (D ; 1) et (F ; 2).
Partie A
1. Montrer que le point K a pour coordonnées
.
Dans le repère , on a les coordonnées :
D
et F
.
En utilisant les formules des coordonnées pour le barycentre on a :
Donc on a bien K.
2. Montrer que les droites (EK) et (DF) sont orthogonales.
, on a les coordonnées :
D et F.
En utilisant les formules des coordonnées pour le barycentre on a :
Donc on a bien K.
Le point E a pour coordonnées : E
.
On a les coordonnées des vecteurs : 
et
.
On calcule le produit scalaire :
Le produit scalaire étant nul, on en déduit que 
et 
sont orthogonaux et donc les droites (EK) et (EF) également.
3. Calculer la distance EK.
.
On a les coordonnées des vecteurs : et
.
On calcule le produit scalaire :
Le produit scalaire étant nul, on en déduit que et sont orthogonaux et donc les droites (EK) et (EF) également.
On utilise la formule de la distance :
EK
Partie B
Soit M un point du segment [HG]. On note
= HM ( est donc un réel appartenant à 
).
1. Montrer que, pour tout réel appartenant à l'intervalle , le volume du tétraèdre EMFD, en unités de volume, est égal à 
.
On considère le tétraèdre avec la base EMF, dans ce cas la hauteur est toujours égale à 1.
En outre on remarque que le triangle EMF a toujours une aire qui vaut 
(on calcule l'aire avec la base [EF] et dans ce cas la hauteur correspondante est toujours de longueur 1).
Donc le volume du tétraèdre est toujours égal à 
.
2. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (MFD) est
(on calcule l'aire avec la base [EF] et dans ce cas la hauteur correspondante est toujours de longueur 1).
Donc le volume du tétraèdre est toujours égal à .
Les points M, D et F ne sont jamais alignés donc il définissent toujours un plan, pour montrer que l'équation proposée est une équation de (MFD), il suffit de montrer que les coordonnées
de M, D et F vérifient l'équation.
Pour M
: 
, donc c'est bon.
Pour F : 
, donc c'est bon.
Pour D : 
, donc c'est bon.
3. On note : , donc c'est bon.
Pour F : , donc c'est bon.
Pour D : , donc c'est bon.
la distance du point E au plan (MFD).
a. Montrer que, pour tout réel appartenant à l'intervalle :
On utilise la formule de la distance d'un point à un plan, avec E
et l'équation du plan de la question précédente ce qui donne :
b. Déterminer la position de M sur le segment [HG] pour laquelle la distance et l'équation du plan de la question précédente ce qui donne :
est maximale.
On remarque que 
est maximale quand 
est minimale.
Comme l'expression est un trinôme du second degré on sait directement que sont minimum est atteint pour 
(formule 
).
Donc la distance est maximale lorsque M est au milieu du segment [HG].
c. En déduire que lorsque la distance est maximale quand est minimale.
Comme l'expression est un trinôme du second degré on sait directement que sont minimum est atteint pour (formule ).
Donc la distance est maximale lorsque M est au milieu du segment [HG].
est maximale, le point K est le projeté orthogonal de E sur le plan (MFD).
La distance maximale obtenue pour 
vaut : 
.
Donc 
(E,MFD)
EK, or la distance de E à (MFD) est la plus courte distance séparant E d'un point du plan qui ne peut donc être que K. D'autre part on sait que cette distance est aussi la
distance séparant E de son projeté orthogonal sur le plan, donc K est le projeté orthogonal de E sur le plan (MFD).
vaut : .
Donc (E,MFD)EK, or la distance de E à (MFD) est la plus courte distance séparant E d'un point du plan qui ne peut donc être que K. D'autre part on sait que cette distance est aussi la
distance séparant E de son projeté orthogonal sur le plan, donc K est le projeté orthogonal de E sur le plan (MFD).
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