Bac de maths

Corrigé de l'exercice 2 de maths du bac S de juin 2011 en Polynésie

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Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que :
On note, pour tout entier naturel non nul :
On a donc .

 

 

1. Montrer que . On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
On a l'arbre de probabilités :
En utilisant la formule des probabilités totales on a :
.

 

 

2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.
Il s'agit de calculer : .
3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
On calcule d'abord la probabilité de l'événement contraire : le joueur ne gagne aucune partie soit :
.
Donc la probabilité de l'événement recherché est : .
4. Montrer que pour tout entier naturel non nul, .
On construit un arbre pour modéliser la situation entre la partie numéro et la partie numéro :
En utilisant la formule des probabilités totales on a :
.
5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul :
La propriété à montrer pour tout entier est : « ».
Initialisation
Pour , la formule donne : ce qui correspond à .
Donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang , on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang .
D'après la question 4. on a :
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout entier .
6. Déterminer la limite de la suite quand tend vers .
Pour calculer cette limite on utilise la relation : .
Comme , et donc par produit et addition .
7. Pour quelles valeurs de l'entier naturel a-t-on : ?
On résout :

 

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