Corrigé de l'exercice 2 de maths du bac S de juin 2011 en Polynésie
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Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que :- la probabilité qu'il gagne la première partie est de 0,1
- s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8
- s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6
![](/image/im000061.png)
- G
l'évènement « le joueur gagne la
-ième partie »
-
la probabilité de l'évènement G
![](/image/im001786.png)
1. Montrer que
![](/image/im001787.png)
On a l'arbre de probabilités :
En utilisant la formule des probabilités totales on a :
.
![](/image/im001788.png)
![](/image/im001789.png)
2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.
Il s'agit de calculer :
.
3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
![](/image/im001790.png)
On calcule d'abord la probabilité de l'événement contraire : le joueur ne gagne aucune partie soit :
.
Donc la probabilité de l'événement recherché est :
.
4. Montrer que pour tout entier naturel ![](/image/im001791.png)
![](/image/im001792.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im001793.png)
On construit un arbre pour modéliser la situation entre la partie numéro
et la partie numéro
:
En utilisant la formule des probabilités totales on a :
.
5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel ![](/image/im000061.png)
![](/image/im001794.png)
![](/image/im001795.png)
![](/image/im001796.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im001797.png)
La propriété à montrer pour tout entier
est :
«
».
Initialisation
Pour
, la formule donne :
ce qui correspond à
.
Donc
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang
, on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang
.
D'après la question 4. on a :
Donc
est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété
est vraie pour tout entier
.
6. Déterminer la limite de la suite ![](/image/im000261.png)
![](/image/im000087.png)
![](/image/im001798.png)
![](/image/im001799.png)
![](/image/im001800.png)
![](/image/im001801.png)
![](/image/im000136.png)
![](/image/im001722.png)
![](/image/im001802.png)
![](/image/im000093.png)
![](/image/im001803.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im000261.png)
![](/image/im001804.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000016.png)
Pour calculer cette limite on utilise la relation :
.
Comme
,
et donc par produit et addition
.
7. Pour quelles valeurs de l'entier naturel ![](/image/im001798.png)
![](/image/im001805.png)
![](/image/im001806.png)
![](/image/im001807.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im001808.png)
On résout :
![](/image/im001809.png)