Corrigé de l'exercice 1 de maths du bac S de mars 2012 en Nouvelle Calédonie
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Partie A
On considère le polynôme![](/image/im000694.png)
![](/image/im000412.png)
![](/image/im002201.png)
1. Montrer que le nombre complexe
![](/image/im002202.png)
![](/image/im002203.png)
On remplace
dans l'expression
et on vérifie en effectuant le calcul qu'on obtient 0.
2.a. Déterminer les réels ![](/image/im000415.png)
![](/image/im002204.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im002205.png)
On développe l'expression
ce qui donne :
Par identification on obtient :
Donc
b. En déduire les solutions dans ![](/image/im002206.png)
![](/image/im002207.png)
![](/image/im002208.png)
![](/image/im002209.png)
![](/image/im002210.png)
![](/image/im002203.png)
On résout dans
l'équation
, on trouve deux solutions complexes conjuguées qui sont
et
.
Ainsi l'équation
admet trois solutions :
,
et
.
![](/image/im000412.png)
![](/image/im002211.png)
![](/image/im002212.png)
![](/image/im001696.png)
![](/image/im002213.png)
![](/image/im002214.png)
![](/image/im002215.png)
![](/image/im000523.png)
Partie B
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives :![](/image/im002216.png)
![](/image/im002217.png)
![](/image/im002218.png)
Dans le sujet original il faut déterminer l'affixe de L en utilisant un transformation.
A partir de la rentrée 2012, les transformations en écriture complexe ne sont plus au programme.
3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
On conjecture que A, B, J et L sont sur le cercle de centre O et de rayon
.
Pour le vérifier on calcule les modules des affixes des points correspondants.
4. Soit D le point d'affixe ![](/image/im002219.png)
![](/image/im002220.png)
![](/image/im002221.png)
![](/image/im002222.png)
![](/image/im002223.png)
![](/image/im002224.png)
![](/image/im002225.png)
Le contenu de cette question a été supprimé car dans le sujet original il fait intervenir des transformations.
5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
On conjecture que ABCD est un carré.
.
.
Donc
, ce qui prouve que ABCD est un parallélogramme.
On s'intéresse maintenant aux vecteurs
et
.
On a donc
et
, ce qui prouve que les côtés consécutifs [AD] et [AB] du parallélogramme ABCD sont de même longueur et perpendiculaires, donc ABCD est un carré.
![](/image/im002226.png)
![](/image/im002227.png)
![](/image/im002228.png)
![](/image/im002229.png)
![](/image/im000608.png)
![](/image/im002230.png)
![](/image/im002226.png)
![](/image/im002231.png)
![](/image/im002232.png)