Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de juin 2013 en métropole
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On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1![](/image/im004546.png)
- l'effectif de la population est globalement constant,
- chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003475.png)
![](/image/im004546.png)
![](/image/im005641.png)
![](/image/im005947.png)
1. Pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
![](/image/im001494.png)
![](/image/im005948.png)
![](/image/im003475.png)
![](/image/im005947.png)
D'après les éléments de l'énoncé on a :
2. Soit la matrice ![](/image/im005949.png)
![](/image/im005950.png)
![](/image/im005951.png)
![](/image/im005952.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im005953.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im000479.png)
![](/image/im000028.png)
![](/image/im005954.png)
On calcule le produit :
Donc
et
Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel ![](/image/im005955.png)
![](/image/im005956.png)
![](/image/im005957.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005958.png)
![](/image/im005959.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005960.png)
3. Soient les matrices
![](/image/im005961.png)
![](/image/im005962.png)
![](/image/im005963.png)
![](/image/im005964.png)
![](/image/im005965.png)
On a :
.
Du coup
.
b. Vérifier que la matrice ![](/image/im005966.png)
![](/image/im005967.png)
![](/image/im005968.png)
![](/image/im005969.png)
On calcule déja :
puis :
c. Démontrer que pour tout entier naturel ![](/image/im005970.png)
![](/image/im005971.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000038.png)
![](/image/im005972.png)
La propriété à montrer par récurrence pour tout entier
est :
: «
».
Initialisation au rang 1
On sait que
donc :
en mutipliant à gauche par
, puis :
en multipliant à droite par
donc
est vraie.
Hérédité
On suppose que
est vraie avec
c'est à dire qu'on a l'hypothèse de récurrence :
![](/image/im005978.png)
on cherche à montrer qu'alors
est également vraie.
Donc
est vraie.
Ainsi la propriété
est vraie au rang 1 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel
.
4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que
![](/image/im000261.png)
![](/image/im000353.png)
![](/image/im005973.png)
![](/image/im005974.png)
![](/image/im005975.png)
![](/image/im005976.png)
![](/image/im005977.png)
![](/image/im005965.png)
![](/image/im000143.png)
![](/image/im001915.png)
![](/image/im003401.png)
![](/image/im005978.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im005979.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im000353.png)
![](/image/im001912.png)
![](/image/im005980.png)
On détermine la limite de
en
:
Comme
,
.
Du coup
et :
.
Cela signifie qu'à long terme
de la population va résider en ville et
sera à la
campagne.
![](/image/im001493.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im005981.png)
![](/image/im005982.png)
![](/image/im005983.png)
![](/image/im005984.png)
![](/image/im001850.png)
![](/image/im005263.png)