Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2013 en métropole
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Soit la suite numérique![](/image/im000060.png)
![](/image/im000251.png)
![](/image/im005910.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005911.png)
1.a. Calculer
![](/image/im005912.png)
![](/image/im005076.png)
![](/image/im005077.png)
![](/image/im003327.png)
![](/image/im001219.png)
![](/image/im005913.png)
![](/image/im005914.png)
![](/image/im005915.png)
![](/image/im005916.png)
Il semble que la suite soit croissante.
2.a. Démontrer que pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005917.png)
On démontre par récurrence la propriété :
![](/image/im005918.png)
Initialisation au rang 0 :
On a
et
donc
est vraie.
Hérédité
On suppose qu'à un rang
,
est vraie, soit
.
On part de cette hypothèse :
Donc
est vraie, ce qui montre l'hérédité.
Ainsi la propriété en question est initialisée au rang 0 et elle est héréditaire donc
elle est vraie pour tout entier naturel.
b. Démontrer que pour tout entier naturel ![](/image/im005918.png)
![](/image/im000723.png)
![](/image/im005919.png)
![](/image/im001932.png)
![](/image/im000307.png)
![](/image/im001915.png)
![](/image/im005920.png)
![](/image/im005921.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005922.png)
Pour tout entier naturel
, on a :
c. En déduire une validation de la conjecture précédente.
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005923.png)
D'après la question a.,
.
Du coup
ce qui montre que la suite est croissante.
3. On désigne par ![](/image/im005924.png)
![](/image/im000741.png)
![](/image/im000947.png)
![](/image/im000251.png)
![](/image/im005925.png)
![](/image/im000947.png)
![](/image/im000053.png)
Pour tout entier naturel
on a :
Cela prouve que la suite
est une suite géométrique de raison
.
b. En déduire que pour tout entier naturel ![](/image/im000061.png)
![](/image/im005926.png)
![](/image/im000296.png)
![](/image/im000053.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005927.png)
On a
et donc
.
De plus :
, en remplaçant
par sa formule
explicite il vient :
c. Déterminer la limite de la suite ![](/image/im005928.png)
![](/image/im005929.png)
![](/image/im005930.png)
![](/image/im001493.png)
![](/image/im005931.png)
![](/image/im000060.png)
On a
, donc
.
Par somme,
.
4. Pour tout entier naturel non nul ![](/image/im005932.png)
![](/image/im005933.png)
![](/image/im005934.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005935.png)
![](/image/im005936.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005937.png)
![](/image/im005938.png)
![](/image/im005939.png)
-
car
puisque
.
-
- Pour
,
et
![](/image/im005946.png)