Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2013 en métropole

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 Soit la suite numérique définie sur par :
et pour tout entier naturel ,

 

 

1.a. Calculer , , et .
On pourra en donner des valeurs approchées à près.
b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
Il semble que la suite soit croissante.

 

 

2.a. Démontrer que pour tout entier naturel ,
On démontre par récurrence la propriété :
Initialisation au rang 0 :
On a et donc est vraie.
Hérédité
On suppose qu'à un rang , est vraie, soit .
On part de cette hypothèse :
Donc est vraie, ce qui montre l'hérédité.
Ainsi la propriété en question est initialisée au rang 0 et elle est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel.
b. Démontrer que pour tout entier naturel ,
Pour tout entier naturel , on a :
c. En déduire une validation de la conjecture précédente.
D'après la question a., .
Du coup ce qui montre que la suite est croissante.
3. On désigne par la suite définie sur par .
a. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison .
Pour tout entier naturel on a :
Cela prouve que la suite est une suite géométrique de raison .
b. En déduire que pour tout entier naturel ,
On a et donc .
De plus : , en remplaçant par sa formule explicite il vient :
c. Déterminer la limite de la suite .
On a , donc .
Par somme, .
4. Pour tout entier naturel non nul , on pose:
a. Exprimer en fonction de .
b. Déterminer la limite de la suite .
  • car puisque .
  • Pour ,
    et
Finalement par somme, .

 

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