Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de juin 2013 en métropole

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 Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé , la courbe représentative d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle .

 

 

On dispose des informations suivantes :
1.a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de et .
est l'ordonnée de B, donc .
est le coefficient directeur de (BC), or B et C ont même ordonnée, donc le coefficient directeur de cette droite vaut 0 et du coup .
b. Vérifier que pour tout réel strictement positif .
On peut écrire avec :
;
; .
En utilisant la formule de la dérivée d'un quotient il vient :

 

 

c. En déduire les réels et .
Donc et .
2.a. Justifier que pour tout réel appartenant à l'intervalle , a le même signe que .
En remplaçant et par 2 dans la formule de la question 1.b. on a :
Pour tout ; et donc est du même signe que .
b. Déterminer les limites de en 0 et en . On pourra remarquer que pour tout réel strictement positif, .
Limite à droite en 0
et donc .
Finalement, par quotient, .
Limite en
On a une forme indéterminée, on utilise l'écriture : .
(limite connue vue en cours) et donc .
Finalement, par somme : .
c. En déduire le tableau de variations de la fonction .
En exploitant tous les éléments vu avant on peut dresser le tableau de variations complet de la fonction.
3.a. Démontrer que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
La fonction est continue et strictement croissante sur avec :
et .
Comme , on peut dire d'après le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation admet une unique solution située dans l'intervalle .
b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel de l'intervalle tel que .
Déterminer l'entier tel que .
En utilisant la calculette, par balayage on trouve facilement : , donc .
4. On donne l'algorithme ci-dessous.
a. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
On pourra remarquer qu'à l'étape 5, le contenu de la boucle Tant que n'est pas exécutée et donc la valeur de n'est pas modifiée.
b. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
Les valeurs affichées sont les bornes d'un encadrement de d'amplitude .
c. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de d'amplitude .
On a vu que , donc on initialise et avec ces valeurs.
Sur , la fonction est décroissante, donc au niveau du traitement il faut modifier « Si  » en « Si  ».
L'algorithme ainsi obtenu est le suivant :
On pourra remarquer que l'algorithme ainsi modifié ne donne pas exactement un encadrement d'amplitude , mais un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à .
5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.
a. Justifier que cela revient à démontrer que .
On commence par déterminer l'abscisse du point d'intersection de avec l'axe des abscisses, pour cela on résout :
On remarque que sur , la fonction est positive et donc l'aire du domaine délimité par , l'axe des abscisses et la droite d'équation est égal à . Ce domaine est un des deux domaines qui partage le rectangle OABC, le rectangle ayant une aire de 2 u.a., on doit donc montrer que
b. En remarquant que l'expression de peut s'écrire , terminer la démonstration.
Il s'agit maintenant de calculer la valeur exacte de l'intégrale précédente :

 

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