Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de juin 2013 en métropole
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Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé![](/image/im001701.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000151.png)
![](/image/im005816.png)
On dispose des informations suivantes :
- les points A, B, C ont pour coordonnées respectives
,
,
;
- la courbe
passe par le point B et la droite (BC) est tangente à
en B ;
- il existe deux réels positifs
et
tels que pour tout réel strictement positif
,
![](/image/im005513.png)
![](/image/im004293.png)
![](/image/im005513.png)
![](/image/im001254.png)
![](/image/im004293.png)
![](/image/im005819.png)
![](/image/im005820.png)
On peut écrire
avec :
;
;
.
En utilisant la formule de la dérivée d'un quotient il vient :
![](/image/im003998.png)
![](/image/im005821.png)
![](/image/im005822.png)
![](/image/im001320.png)
![](/image/im001321.png)
![](/image/im005823.png)
c. En déduire les réels
![](/image/im000329.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im005824.png)
![](/image/im005825.png)
![](/image/im005826.png)
![](/image/im005827.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im000151.png)
![](/image/im001118.png)
![](/image/im002565.png)
En remplaçant
et
par 2 dans la formule de la question 1.b. on a :
Pour tout
;
et donc
est du même signe que
.
b. Déterminer les limites de ![](/image/im000329.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im005828.png)
![](/image/im000827.png)
![](/image/im005829.png)
![](/image/im001118.png)
![](/image/im002565.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im005830.png)
Limite à droite en 0
et donc
.
Finalement, par quotient,
.
Limite en
On a une forme indéterminée, on utilise l'écriture :
.
(limite connue vue en cours)
et donc
.
Finalement, par somme :
.
c. En déduire le tableau de variations de la fonction ![](/image/im000163.png)
![](/image/im005831.png)
![](/image/im005832.png)
![](/image/im000168.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im005833.png)
![](/image/im005834.png)
![](/image/im001658.png)
![](/image/im005835.png)
![](/image/im001659.png)
![](/image/im000063.png)
En exploitant tous les éléments vu avant on peut dresser le tableau de variations complet
de la fonction.
3.a. Démontrer que l'équation ![](/image/im005836.png)
![](/image/im005837.png)
![](/image/im000198.png)
![](/image/im005838.png)
La fonction
est continue et strictement croissante sur
avec :
et
.
Comme
, on peut dire d'après le théorème des valeurs
intermédiaires que l'équation
admet une unique solution
située dans
l'intervalle
.
b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel ![](/image/im000063.png)
![](/image/im005838.png)
![](/image/im000168.png)
![](/image/im001254.png)
![](/image/im005839.png)
![](/image/im005840.png)
![](/image/im000198.png)
![](/image/im002806.png)
![](/image/im005841.png)
![](/image/im005842.png)
![](/image/im005843.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005844.png)
En utilisant la calculette, par balayage on trouve facilement :
, donc
.
4. On donne l'algorithme ci-dessous.
![](/image/im005845.png)
![](/image/im003629.png)
![](/image/im005846.png)
![](/image/im005847.png)
![](/image/im005848.png)
![](/image/im000341.png)
Les valeurs affichées sont les bornes d'un encadrement de
d'amplitude
.
c. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de ![](/image/im000198.png)
![](/image/im005849.png)
![](/image/im005841.png)
![](/image/im000201.png)
On a vu que
, donc on initialise
et
avec ces valeurs.
Sur
, la fonction
est décroissante, donc au niveau du traitement il
faut modifier « Si
» en « Si
».
L'algorithme ainsi obtenu est le suivant :
On pourra remarquer que l'algorithme ainsi modifié ne donne pas exactement un encadrement
d'amplitude
, mais un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à
.
5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe ![](/image/im005845.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im005850.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005851.png)
![](/image/im005852.png)
![](/image/im005853.png)
![](/image/im000201.png)
![](/image/im000201.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im005854.png)
On commence par déterminer l'abscisse du point d'intersection de
avec l'axe
des abscisses, pour cela on résout :
On remarque que sur
, la fonction
est positive
et donc l'aire du domaine délimité par
, l'axe des abscisses et la droite
d'équation
est égal à
.
Ce domaine est un des deux domaines qui partage le rectangle OABC, le rectangle
ayant une aire de 2 u.a., on doit donc montrer que
b. En remarquant que l'expression de ![](/image/im001096.png)
![](/image/im005855.png)
![](/image/im000223.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000213.png)
![](/image/im005856.png)
![](/image/im005857.png)
![](/image/im000178.png)
![](/image/im005858.png)
Il s'agit maintenant de calculer la valeur exacte de l'intégrale précédente :
![](/image/im005859.png)