Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2012 en métropole
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Partie A
On désigne par![](/image/im000063.png)
![](/image/im003180.png)
![](/image/im003181.png)
1. Déterminer la limite de la fonction
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000017.png)
-
et par inverse
.
-
(termes de plus haut degré) et par composée
.
![](/image/im001659.png)
2. Démontrer que pour tout réel
![](/image/im000153.png)
![](/image/im003180.png)
![](/image/im003186.png)
![](/image/im000063.png)
La fonction
est dérivable sur
et on a :
avec :
(formule du quotient)
Donc
Pour tout
,
et
donc
et on a le tableau de variations :
.
3. En déduire le signe de la fonction ![](/image/im000063.png)
![](/image/im001162.png)
![](/image/im003187.png)
![](/image/im003188.png)
![](/image/im000189.png)
![](/image/im003189.png)
![](/image/im003190.png)
![](/image/im003191.png)
![](/image/im002696.png)
![](/image/im000827.png)
![](/image/im003192.png)
![](/image/im002719.png)
![](/image/im003193.png)
![](/image/im003194.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im003180.png)
D'après l'étude précédente on a
pour tout
.
![](/image/im003195.png)
![](/image/im002696.png)
Partie B
Soit![](/image/im000060.png)
![](/image/im003196.png)
![](/image/im003197.png)
![](/image/im003198.png)
La boucle est executée 3 fois.
Itération 1 :
Itération 2 :
Itération 3 :
Donc la valeur exacte affichée est
.
2. Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de ![](/image/im003199.png)
![](/image/im003200.png)
![](/image/im003201.png)
![](/image/im003202.png)
![](/image/im003203.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003204.png)
![](/image/im000800.png)
![](/image/im003205.png)
![](/image/im000060.png)
La suite semble décroissante et converger vers une valeur proche de 0,577.
Partie C
Cette partie permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite![](/image/im000060.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003196.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003206.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000060.png)
Pour tout entier
on a :
or pour tout
, on a vu que
, donc pour tout entier
,
, ce qui prouve que la suite
est strictement décroissante.
2.a. Soit ![](/image/im002751.png)
![](/image/im003207.png)
![](/image/im003208.png)
![](/image/im003195.png)
![](/image/im000261.png)
![](/image/im000374.png)
![](/image/im000102.png)
![](/image/im000326.png)
![](/image/im003209.png)
![](/image/im003210.png)
![](/image/im003211.png)
Soit
, pour tout
on a :
Du coup en intégrant cette fonction positive (avec la borne basse inférieure à la borne haute) on obtient
.
Par linéarité de l'intégrale en partant de l'inégalité qu'on vient de prouver on a :
soit
avec :
et donc on a bien :
.
Pour terminer,
donc à partir de l'inégalité
, on obtient
.
b. Ecrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement ![](/image/im001774.png)
![](/image/im003212.png)
![](/image/im003213.png)
![](/image/im003214.png)
![](/image/im003215.png)
![](/image/im003216.png)
![](/image/im003217.png)
![](/image/im003218.png)
![](/image/im003219.png)
![](/image/im003218.png)
![](/image/im003220.png)
![](/image/im000326.png)
![](/image/im003221.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003222.png)
Pour tout entier
, on a les inégalités :
en ajoutant membre à membre ces inégalités on obtient :
.
c. En déduire que pour tout entier strictement positif ![](/image/im002751.png)
![](/image/im003223.png)
![](/image/im003224.png)
![](/image/im003225.png)
On remarque que
, donc en exploitant l'inégalité vue à la question précédente on a pour tout entier
:
or pour tout entier
,
et
, donc on a aussi
.
3. Prouver que la suite ![](/image/im003226.png)
![](/image/im000261.png)
![](/image/im003227.png)
![](/image/im002751.png)
![](/image/im003228.png)
![](/image/im003229.png)
![](/image/im003230.png)
![](/image/im000060.png)
La suite
est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.
![](/image/im000102.png)