Corrigé de l'exercice 4 de maths du bac S de juin 2011 en métropole
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L'espace est muni d'un repère orthonormal![](/image/im000105.png)
Bien que la notion de distance d'un point à un plan ne figure plus au programme, on peut quand même proposer cet exercice dans
la mesure où la partie A permet d'établir la formule qui sera utilisée par la suite dans l'exercice.
Il faut juste bien remarquer que la distance d'un point à un plan est la distance entre ce point et son projeté orthogonal sur le plan.
Partie A - Restitution organisée de connaissances
On désigne par![](/image/im001860.png)
![](/image/im002103.png)
![](/image/im001004.png)
![](/image/im002104.png)
![](/image/im001004.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im002105.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im002106.png)
![](/image/im001004.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im002107.png)
![](/image/im002108.png)
1. Justifier que
![](/image/im002109.png)
![](/image/im002110.png)
Partie B
On désigne par A, B, C, F les points de coordonnées respectives![](/image/im002111.png)
![](/image/im002112.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im002113.png)
![](/image/im000028.png)
![](/image/im001860.png)
On utilise directement la formule démontrée dans la partie A :
![](/image/im002114.png)
2. Le but de cette question est de calculer la distance
![](/image/im000028.png)
![](/image/im002115.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im002115.png)
Un vecteur normal de
est
(propriété rappelée dans la partie A).
Donc un vecteur directeur de
est également
, comme de plus
passe par
, on a directement la représentation paramétrique de
:
![](/image/im002118.png)
b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan ![](/image/im001860.png)
![](/image/im002116.png)
![](/image/im002115.png)
![](/image/im000681.png)
![](/image/im002115.png)
![](/image/im002117.png)
![](/image/im002115.png)
![](/image/im002118.png)
![](/image/im001860.png)
La droite
est perpendiculaire à
et passe par F, donc le projeté orthogonal de F sur
est le point d'intersection entre
et
.
On trouve
.
c. Retrouver le résultat de la question 1. b.
![](/image/im002115.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im002115.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im002119.png)
On calcule :
.
On retrouve bien le résultat de la question 1.b.
3. Soit ![](/image/im002120.png)
![](/image/im002121.png)
![](/image/im002121.png)
On calcule :
.
Donc F appartient à la sphère
.
b. Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle ![](/image/im002122.png)
![](/image/im002121.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im002121.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im002123.png)