Corrigé de l'exercice 3 de maths du bac S de juin 2011 en métropole
Cacher les corrigés
Pour tout entier naturel![](/image/im000061.png)
![](/image/im001959.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im001960.png)
![](/image/im001961.png)
![](/image/im001701.png)
PARTIE A
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe![](/image/im001962.png)
![](/image/im000326.png)
![](/image/im001963.png)
![](/image/im001964.png)
![](/image/im001963.png)
![](/image/im001965.png)
![](/image/im001966.png)
1.a. Déterminer les limites de la fonction
![](/image/im000149.png)
![](/image/im001967.png)
![](/image/im000016.png)
Limite en
et par composition
Donc par produit
.
Limite en
On a une forme indéterminée, cependant on peut écrire pour tout
:
.
(par la propriété des croissances comparées).
b. Etudier les variations de la fonction ![](/image/im000388.png)
![](/image/im001484.png)
![](/image/im001485.png)
![](/image/im001968.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im001116.png)
![](/image/im001969.png)
![](/image/im001970.png)
![](/image/im000149.png)
![](/image/im000149.png)
On obtient le tableau de variations suivant :
![](/image/im001971.png)
c. A l'aide du graphique, justifier que
![](/image/im000326.png)
La courbe
ne peut pas être la courbe représentative de
, car ce que « l'on voit » n'est cohérent ni avec les limites à l'infini, ni avec les variations de la fonction
et par conséquent
.
2.a Démontrer que pour ![](/image/im001972.png)
![](/image/im001973.png)
![](/image/im001974.png)
![](/image/im001975.png)
![](/image/im001976.png)
![](/image/im001961.png)
On a pour tout entier
:
, donc toutes les courbes
passent par O.
Par observation du dessin, on conjecture que le deuxième point commun est d'abscisse 1 et on calcule :
Donc toutes les courbes
passent également par le point de coordonnées
.
b. Vérifier que pour tout entier naturel ![](/image/im001977.png)
![](/image/im001978.png)
![](/image/im001979.png)
![](/image/im001980.png)
![](/image/im001979.png)
![](/image/im001981.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im001982.png)
![](/image/im001983.png)
![](/image/im001984.png)
En utilisant l'expression générale de la dérivée trouvée dans la question 2.b. on a :
![](/image/im001985.png)
Cette dérivée se présente comme produit de trois facteurs dont deux positifs et le facteur
qui s'annule en changeant de signe.
Ainsi
s'annule pour
en changeant de signe avec :
sur
et
sur
.
Cela justifie que
admet un maximum atteint pour
.
4.a Démontrer que la droite ![](/image/im001985.png)
![](/image/im001986.png)
![](/image/im001987.png)
![](/image/im001988.png)
![](/image/im001989.png)
![](/image/im001990.png)
![](/image/im001991.png)
![](/image/im001992.png)
![](/image/im001993.png)
![](/image/im001988.png)
![](/image/im001963.png)
![](/image/im001994.png)
La droite
(
) est tangente à la courbe
au point d'abscisse 1 donc son coefficient directeur est :
La droite
a donc une équation de la forme
.
Pour déterminer
, on écrit que
passe par le point de coordonnées
(voir question 2.a) et on obtient :
d'où
.
Donc l'équation réduite de
est
.
Pour trouver le point d'intersection avec l'axe des abscisses il reste à résoudre l'équation :
Donc la droite
coupe l'axe des abscisses en
.
b. En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur de l'entier ![](/image/im001995.png)
![](/image/im001975.png)
![](/image/im001972.png)
![](/image/im001996.png)
![](/image/im001995.png)
![](/image/im001997.png)
![](/image/im000745.png)
![](/image/im001995.png)
![](/image/im001981.png)
![](/image/im001998.png)
![](/image/im001999.png)
![](/image/im001995.png)
![](/image/im002000.png)
![](/image/im002001.png)
![](/image/im001995.png)
![](/image/im001994.png)
![](/image/im000326.png)
On sait que A
, donc pour
:
![](/image/im001965.png)
![](/image/im001975.png)
![](/image/im002002.png)
PARTIE B
On désigne par![](/image/im002003.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im002004.png)
Dans le sujet original, la première question de la partie B nécessitait l'utilisation d'une intégration
par parties qui n'est plus au programme à compter de l'année scolaire 2012-2013.
2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes ![](/image/im002005.png)
![](/image/im002006.png)
![](/image/im002007.png)
![](/image/im002008.png)
Pour tout
, sur l'intervalle
, les fonctions
sont positives , donc l'intégrale
représente l'aire de la zone délimitée par la courbe
, l'axe des abscisses et la droite d'équation
. Sur le dessin on voit que la zone est de plus en plus restreinte au fur et à mesure que
croît, donc on conjecture que la suite
est décroissante.
b. Démontrer cette conjecture.
![](/image/im001977.png)
![](/image/im000068.png)
![](/image/im002009.png)
![](/image/im002010.png)
![](/image/im001979.png)
![](/image/im000213.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im002011.png)
Pour tout entier
, on étudie le signe de
:
Pour
,
et
, parcontre
, donc la fonction à intégrer est négative sur l'intervalle considéré, ce qui entraîne que
l'intégrale est également négative, autrement dit on a :
Pour tout entier
,
, ce qui prouve que la suite
est décroissante.
c. En déduire que la suite ![](/image/im001977.png)
![](/image/im002012.png)
![](/image/im002013.png)
![](/image/im002014.png)
![](/image/im002015.png)
![](/image/im002016.png)
![](/image/im002017.png)
![](/image/im001977.png)
![](/image/im002018.png)
![](/image/im002011.png)
![](/image/im002003.png)
Tous les termes de la suite
sont positifs puisque pour tout entier
,
est l'intégrale sur
d'une fonction positive sur
.
Ainsi la suite
est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.
d. Déterminer ![](/image/im002011.png)
![](/image/im001977.png)
![](/image/im002010.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im002011.png)
![](/image/im002019.png)
Sur
,
, donc
et
et du coup :
avec :
Ainsi
avec
, donc d'après le théorème des gendarmes
.
![](/image/im000072.png)
![](/image/im002020.png)
![](/image/im002021.png)
![](/image/im002022.png)
![](/image/im002023.png)
![](/image/im002024.png)
![](/image/im002025.png)
![](/image/im002026.png)
![](/image/im002027.png)