Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de mai 2014 au Liban
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On considère la suite de nombres complexes définie par et pour tout entier naturel :
Partie A
Pour tout entier naturel on pose .
1. Calculer .
2. Démontrer que est la suite géométrique de raison et de premier terme 2.
Pour tout entier naturel on a :
Donc est bien une suite géométrique de raison et son premier terme est .
3. Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de .
On a directement
4. Déterminer la limite de la suite .
Comme et , .
5. Etant donné un réel positif , on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel telle que .
Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier .
| Variables : | est un réel | |
| est un réel | ||
| est un entier | ||
| Initialisation : | Affecter à la valeur 0 | |
| Affecter à la valeur 2 | ||
| Entrée : | Demander la valeur de | |
| Traitement : | ||
| Sortie : |
| Variables : | est un réel |
| est un réel | |
| est un entier | |
| Initialisation : | Affecter à la valeur 0 |
| Affecter à la valeur 2 | |
| Entrée : | Demander la valeur de |
| Traitement : | Tant que faire |
| reçoit | |
| reçoit | |
| Fin Tant que | |
| Sortie : | Afficher |
Partie B
1. Déterminer la forme algébrique de .
2. Déterminer la forme exponentielle de et de .
En déduire la forme exponentielle de .
On a déjà vu que .
Un argument de est tel que
On peut prendre, par exemple, et .
Forme exponentielle de
Enfin pour terminer :
3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de .
En prenant la partie réelle de , exprimée d'un part sous forme algébrique (question 1) et d'autre part sous forme trigonométrique (question 2), il vient :
donc
