Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de mai 2013 au Liban
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On considère la suite
définie par 
et, pour tout 
supérieur ou égal à 0 :
1. Calculer
et 
.
, on souhaite calculer 
à l'aide de l'algorithme suivant :
La ligne à compléter doit comporter la relation permettant de calculer le terme suivant de la suite en utilisant la relation de récurrence avec 
qui
représente 
et 
qui représente 
, du coup on écrit :
prend la valeur 
Comme et coïncident à ce niveau de l'algorithme on peut aussi écrire :
prend la valeur 
.
On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant:
qui
représente et qui représente , du coup on écrit :
prend la valeur
Comme et coïncident à ce niveau de l'algorithme on peut aussi écrire :
prend la valeur .
b. Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite ?
On conjecture que 
est strictement croissante et qu'elle diverge vers 
.
est strictement croissante et qu'elle diverge vers .
3. Pour tout entier naturel
, on note 
la matrice colonne 
.
On note A la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel ,
.
Déterminer A et prouver que, pour tout entier naturel 
.
On doit compléter le calcul suivant :
Pour que le calcul « fonctionne » il faut prendre 
.
On montre par récurrence que pour tout entier naturel , la propriété 
« 
» est vraie.
Initialisation au rang 0
, donc 
est vraie.
Hérédité
On suppose que 
est vraie c'est à dire qu'on suppose avoir : 
.
On montre qu'alors 
est également vraie.
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est initialisée au rang 0 ; elle est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel.
4. Soient
Pour que le calcul « fonctionne » il faut prendre .
On montre par récurrence que pour tout entier naturel , la propriété « » est vraie.
Initialisation au rang 0
, donc est vraie.
Hérédité
On suppose que est vraie c'est à dire qu'on suppose avoir : .
On montre qu'alors est également vraie.
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est initialisée au rang 0 ; elle est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel.
.
Calculer 
.
On admet que 
.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul 
.
On peut donc dire que Q et P sont des matrices inverses l'une de l'autre.
Cette fois la propriété à montrer par récurrence pour tout entier 
est :
: « 
».
Initialisation au rang 1
On admet que 
donc 
est vraie.
Hérédité
On suppose que est vraie avec 
c'est à dire qu'on a l'hypothèse de récurrence :
est également vraie.
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel 
.
,
en fonction de .
La suite a-t-elle une limite ?
On a 
et on a
que l'on calcule :
Donc 
.
car 
et 
.
Donc 
ce qui signifie que la suite diverge vers .
et on a
que l'on calcule :
Donc .
car et .
Donc ce qui signifie que la suite diverge vers .
