Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de mai 2013 au Liban
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On considère la suite![](/image/im000060.png)
![](/image/im005074.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005075.png)
1. Calculer
![](/image/im005076.png)
![](/image/im005077.png)
![](/image/im005078.png)
![](/image/im005079.png)
![](/image/im005080.png)
![](/image/im003203.png)
![](/image/im005081.png)
La ligne à compléter doit comporter la relation permettant de calculer le terme suivant de la suite en utilisant la relation de récurrence avec
qui
représente
et
qui représente
, du coup on écrit :
prend la valeur
Comme
et
coïncident à ce niveau de l'algorithme on peut aussi écrire :
prend la valeur
.
On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant:
![](/image/im000329.png)
![](/image/im000734.png)
![](/image/im000479.png)
![](/image/im000250.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im005082.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im005083.png)
![](/image/im005084.png)
![](/image/im000060.png)
On conjecture que
est strictement croissante et qu'elle diverge vers
.
![](/image/im000102.png)
![](/image/im000017.png)
3. Pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
![](/image/im004547.png)
![](/image/im005085.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005086.png)
![](/image/im005087.png)
On doit compléter le calcul suivant :
Pour que le calcul « fonctionne » il faut prendre
.
On montre par récurrence que pour tout entier naturel
, la propriété
«
» est vraie.
Initialisation au rang 0
, donc
est vraie.
Hérédité
On suppose que
est vraie c'est à dire qu'on suppose avoir :
.
On montre qu'alors
est également vraie.
Donc
est vraie.
Ainsi la propriété est initialisée au rang 0 ; elle est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel.
4. Soient ![](/image/im005088.png)
![](/image/im005089.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000087.png)
![](/image/im005090.png)
![](/image/im005091.png)
![](/image/im001932.png)
![](/image/im001915.png)
![](/image/im005092.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im005093.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im005094.png)
![](/image/im005095.png)
![](/image/im005096.png)
![](/image/im005097.png)
![](/image/im005098.png)
![](/image/im005099.png)
![](/image/im000261.png)
![](/image/im000353.png)
![](/image/im005100.png)
![](/image/im005101.png)
![](/image/im000143.png)
![](/image/im001915.png)
![](/image/im003401.png)
![](/image/im005102.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im005103.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im000353.png)
![](/image/im001912.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005104.png)
![](/image/im003203.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000060.png)
On a
et on a
que l'on calcule :
Donc
.
car
et
.
Donc
ce qui signifie que la suite
diverge vers
.
![](/image/im005105.png)
![](/image/im005106.png)
![](/image/im005107.png)
![](/image/im005108.png)
![](/image/im005109.png)
![](/image/im005110.png)
![](/image/im003524.png)
![](/image/im001731.png)
![](/image/im000102.png)
![](/image/im000017.png)