Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de mai 2013 au Liban

On considère la suite numérique définie pour tout entier naturel par

Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite, du rang au rang .
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

 

 

L'algorithme numéro 1 ne convient pas car l'affichage ne figure pas dans la boucle et donc cet algorithme ne va afficher que le terme de rang saisi par l'utilisateur.
L'algorithme 2 ne convient pas non plus. En effet est réinitialisé à 1 à chaque tour de boucle, donc cet algorithme va provoquer l'affichage d'une simple série de 1.
Par élimination le bon algorithme est le numéro 3. On pourra noter que l'instruction d'affichage incluse dans la boucle affiche les termes du rang 0 au rang . L'instruction d'affichage tout en fin d'algorithme est indispensable pour afficher le terme de rang .
2. Pour on obtient l'affichage suivant :
Pour , les derniers termes affichés sont :
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite ?
On peut conjecturer que la suite est croissante et converge vers une limite proche de 2,97.

 

 

3.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel .
La propriété à montrer pour tout entier est : : « ».
Initialisation au rang 0
et on a bien , donc est vraie.
Hérédité
On suppose que est vraie à un rang ce qui donne l'hypothèse de récurrence : .
On veut montrer qu'alors est vraie.
On sait par définition de la suite que , en partant de l'hypothèse de récurrence on « construit » ce :
Donc est vraie et la propriété est héréditaire, comme elle est initialisée au rang 0, on en déduit qu'elle est vraie pour tout entier naturel .
Démontrer que, pour tout entier naturel .
La suite est-elle monotone ?
Pour tout entier naturel :
c. Démontrer que la suite est convergente.
Dans a. on a vu que pour tout entier naturel ; du coup et comme on en déduit grâce à l'expression de la question b. que et donc que est croissante.
Ainsi la suite est croissante et majorée par 3, il en résulte d'après le théorème de convergence monotone que est convergente.

Partie B

On considère la suite définie pour tout entier naturel par
1. Démontrer que est une suite arithmétique de raison .
Pour tout entier naturel on a :
Donc est bien une suite arihtmétique de raison .
2. En déduire l'expression de , puis celle de en fonction de .
Pour tout entier naturel on a :
avec .
Donc finalement, .
3. Déterminer la limite de la suite .
; par quotient et finalement en ajoutant 3 on obtient .

 

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