Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de mai 2013 au Liban

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 Etant donné un nombre réel , on considère la fonction définie sur par
Le plan est muni d'un repère orthonormé .

 

 

Partie A

Dans cette partie on choisit . On a donc, pour tout réel .
La représentation graphique de la fonction dans le repère est donnée ci-dessous :
1. Déterminer les limites de en et en et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Limite en
et par composition par valeurs positives.
En rajoutant 1 puis en inversant on obtient .
On en déduit que la courbe de admet en une asymptote horizontale d'équation .
Limite en
et par composition .
Du coup, et par inversion par valeurs positives.
La courbe représentative de admet en une asymptote horizontale d'équation (axe des abscisses).

 

 

2. Démontrer que, pour tout réel .
Pour tout réel :
3. On appelle la fonction dérivée de sur . Calculer, pour tout réel .
En déduire les variations de la fonction sur .
La fonction est dérivable sur et on peut écrire : avec :
et
Donc on a :
Pour tout ; , de même , donc et la fonction est strictement croissante sur .
4. On définit le nombre .
Montrer que . Donner une interprétation graphique de .
Pour calculer cette intégrale on commence par déterminer une primitive de . Il est plus facile de travailler avec l'expression où l'on peut "voir" avec et pour tout .
Du coup une primitive sur de est définie par .
Maintenant on peut calculer :
La fonction étant positive sur , représente, en unités d'aire, l'aire du domaine délimité par l'axe des ordonnées , la droite d'équation , l'axe des abscisses et la courbe représentative de .

Partie B

Dans cette partie, on choisit et on souhaite tracer la courbe représentant la fonction .
Pour tout réel , on appelle P le point de d'abscisse et M le point de d'abscisse .
On note K le milieu du segment [MP].
1. Montrer que, pour tout réel .
Pour tout réel :
2. En déduire que le point K appartient à la droite d'équation .
On a les coordonnées suivantes : P et M.
Du coup les coordonnées du milieu K de [MP] sont :
K soit K.
Donc le point K appartient à la droite d'équation .
3. Tracer la courbe sur le graphique.
On trace la droite d'équation . D'après ce qui précède les courbes et sont symétriques par rapport à cette droite ce qui permet de construire .
4. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes , l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
On remarque déjà que :
Comme et comme est strictement croissante, pour tout , et donc . Il en résulte que sur , ce qui entraîne que est située au dessus de .
Ainsi l'aire considérée se calcule en effectuant :

Partie C

Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre .
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Quelle que soit la valeur du nombre réel , la représentation graphique de la fonction est strictement comprise entre les droites d'équations et .
Pour tout et tout ; et du coup , donc on a :
soit , ce qui prouve que la courbe de est strictement comprise entre les droites d'équations et .
L'affirmation est VRAIE.
2. Quelle que soit la valeur du réel , la fonction est strictement croissante.
Pour tout et tout la fonction est dérivable et on a :
Ainsi la dérivée à le même signe que , donc la fonction est strictement décroissante pour ; constante pour et strictement croissante pour .
L'affirmation est FAUSSE.
3. Pour tout réel .
Pour tout réel on a
Considérons la fonction définie sur par .
On peut remarquer que , donc est croissante d'après la question précédente.
On calcule .
Comme est croissante, pour tout ; , soit .
L'affirmation est VRAIE.

 

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