Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de mai 2013 au Liban
Cacher les corrigés
Etant donné un nombre réel![](/image/im000326.png)
![](/image/im004846.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im004847.png)
![](/image/im004848.png)
Partie A
Dans cette partie on choisit![](/image/im004849.png)
![](/image/im004850.png)
![](/image/im000147.png)
![](/image/im000149.png)
![](/image/im004848.png)
![](/image/im004851.png)
![](/image/im000154.png)
![](/image/im000016.png)
![](/image/im001967.png)
Limite en
et par composition
par valeurs positives.
En rajoutant 1 puis en inversant on obtient
.
On en déduit que la courbe de
admet en
une asymptote horizontale d'équation
.
Limite en
et par composition
.
Du coup,
et par inversion
par valeurs positives.
La courbe représentative de
admet en
une asymptote horizontale d'équation
(axe des abscisses).
![](/image/im000017.png)
![](/image/im004852.png)
![](/image/im004853.png)
![](/image/im004854.png)
![](/image/im001974.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im003110.png)
![](/image/im000388.png)
![](/image/im004855.png)
![](/image/im004856.png)
![](/image/im004857.png)
![](/image/im004858.png)
![](/image/im001974.png)
![](/image/im000388.png)
![](/image/im004859.png)
2. Démontrer que, pour tout réel
![](/image/im004860.png)
Pour tout réel
:
3. On appelle ![](/image/im000153.png)
![](/image/im004861.png)
![](/image/im004862.png)
![](/image/im000149.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im004863.png)
![](/image/im000149.png)
![](/image/im000243.png)
La fonction
est dérivable sur
et on peut écrire :
avec :
et
Donc on a :
Pour tout
;
, de même
, donc
et la fonction
est strictement croissante sur
.
4. On définit le nombre ![](/image/im001974.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im004864.png)
![](/image/im004865.png)
![](/image/im004866.png)
![](/image/im004867.png)
![](/image/im001116.png)
![](/image/im002396.png)
![](/image/im004868.png)
![](/image/im004869.png)
![](/image/im001974.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im004870.png)
![](/image/im004871.png)
![](/image/im001057.png)
Pour calculer cette intégrale on commence par déterminer une primitive de
. Il est plus facile de travailler avec l'expression
où
l'on peut "voir"
avec
et
pour tout
.
Du coup une primitive sur
de
est définie par
.
Maintenant on peut calculer
:
La fonction
étant positive sur
,
représente, en unités d'aire, l'aire du domaine délimité par l'axe des ordonnées
, la droite d'équation
, l'axe des abscisses et la courbe représentative de
.
![](/image/im001974.png)
![](/image/im004872.png)
![](/image/im004873.png)
![](/image/im004874.png)
![](/image/im001606.png)
![](/image/im001116.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im001974.png)
![](/image/im004875.png)
![](/image/im001057.png)
![](/image/im004876.png)
![](/image/im001974.png)
![](/image/im000068.png)
![](/image/im001057.png)
![](/image/im000213.png)
![](/image/im001974.png)
Partie B
Dans cette partie, on choisit![](/image/im004877.png)
![](/image/im004878.png)
![](/image/im004879.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im000147.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im004878.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im004880.png)
Pour tout réel
:
2. En déduire que le point K appartient à la droite d'équation ![](/image/im000153.png)
![](/image/im004881.png)
![](/image/im004882.png)
On a les coordonnées suivantes : P
et M
.
Du coup les coordonnées du milieu K de [MP] sont :
K
soit K
.
Donc le point K appartient à la droite d'équation
.
3. Tracer la courbe ![](/image/im004883.png)
![](/image/im004884.png)
![](/image/im004885.png)
![](/image/im004886.png)
![](/image/im004887.png)
![](/image/im004878.png)
On trace la droite d'équation
. D'après ce qui précède les courbes
et
sont symétriques
par rapport à cette droite ce qui permet de construire
.
4. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes ![](/image/im004887.png)
![](/image/im001973.png)
![](/image/im004888.png)
![](/image/im004888.png)
![](/image/im004889.png)
![](/image/im000147.png)
![](/image/im004878.png)
![](/image/im000221.png)
On remarque déjà que :
Comme
et comme
est strictement croissante, pour tout
,
et donc
. Il en résulte que
sur
,
ce qui entraîne que
est située au dessus de
.
Ainsi l'aire considérée se calcule en effectuant :
![](/image/im004890.png)
![](/image/im004891.png)
![](/image/im001974.png)
![](/image/im004892.png)
![](/image/im004893.png)
![](/image/im004894.png)
![](/image/im000068.png)
![](/image/im004895.png)
![](/image/im001973.png)
![](/image/im004888.png)
![](/image/im004896.png)
Partie C
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre![](/image/im000326.png)
![](/image/im000326.png)
![](/image/im004846.png)
![](/image/im004897.png)
![](/image/im004898.png)
Pour tout
et tout
;
et du coup
, donc on a :
soit
, ce qui prouve que la courbe de
est strictement comprise entre les droites d'équations
et
.
L'affirmation est VRAIE.
2. Quelle que soit la valeur du réel ![](/image/im001116.png)
![](/image/im002728.png)
![](/image/im004899.png)
![](/image/im004900.png)
![](/image/im004901.png)
![](/image/im004902.png)
![](/image/im004903.png)
![](/image/im004859.png)
![](/image/im003110.png)
![](/image/im000326.png)
![](/image/im004846.png)
Pour tout
et tout
la fonction
est dérivable et on a :
Ainsi la dérivée à le même signe que
, donc la fonction
est strictement décroissante pour
; constante pour
et strictement croissante pour
.
L'affirmation est FAUSSE.
3. Pour tout réel ![](/image/im001116.png)
![](/image/im002728.png)
![](/image/im004903.png)
![](/image/im004904.png)
![](/image/im000326.png)
![](/image/im004903.png)
![](/image/im004905.png)
![](/image/im002731.png)
![](/image/im001774.png)
![](/image/im004906.png)
Pour tout réel
on a
Considérons la fonction
définie sur
par
.
On peut remarquer que
, donc
est croissante d'après la question précédente.
On calcule
.
Comme
est croissante, pour tout
;
, soit
.
L'affirmation est VRAIE.
![](/image/im000326.png)
![](/image/im004907.png)
![](/image/im000636.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im004908.png)
![](/image/im004909.png)
![](/image/im000636.png)
![](/image/im004910.png)
![](/image/im000636.png)
![](/image/im004911.png)
![](/image/im004912.png)
![](/image/im004913.png)