Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de mai 2012 au Liban
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Partie A
On considère la fonction
définie sur l'intervalle 
par:
sur l'intervalle .
La fonction est définie et dérivable sur 
et pour tout nombre réel 
de cet intervalle on a :
, 
, donc la fonction est strictement croissante sur .
est définie et dérivable sur et pour tout nombre réel de cet intervalle on a :
, , donc la fonction est strictement croissante sur .
2. Justifier qu'il existe un unique réel
tel que 
.
Donner une valeur approchée de , arrondir au centième.
On commence par calculer les limites à droite en 0 et en 
de la fonction .
Limite à droite en 0
et par produit 
.
Finalement, par somme 
.
Limite en
et par produit 
Finalement par addition, 
.
Ainsi la fonction est définie, continue et strictement croissante sur avec :
tel que .
Avec la calculette on trouve 
.
de la fonction .
Limite à droite en 0
et par produit .
Finalement, par somme .
Limite en
et par produit
Finalement par addition, .
Ainsi la fonction est définie, continue et strictement croissante sur avec :
tel que .
.
3. En déduire le signe de la fonction
sur l'intervalle .
En utilisant ce qui précède on a directement le tableau de signes :
Partie B
On considère la fonction
définie sur l'intervalle par :
la courbe représentative de la fonction dans le plan, muni d'un repère orthogonal 
.
1. Déterminer les limites de la fonction en 
et en .
Limite à droite en 0
et 
donc
par quotient 
.
Finalement par soustraction 
.
Limite en
(limite de référence).
Finalement par soustraction 
.
2. On considère la droite
et donc
par quotient .
Finalement par soustraction .
Limite en
(limite de référence).
Finalement par soustraction .
d'équation 
.
Etudier la position relative de la courbe et de la droite .
Dans le sujet original il faut établir que est asymptote oblique à la courbe 
.
Depuis la rentrée 2012, la notion d'asymptote oblique n'est plus au programme.
est asymptote oblique à la courbe .
Depuis la rentrée 2012, la notion d'asymptote oblique n'est plus au programme.
Pour tout , on considère l'expression : 
.
Pour étudier la position relative de et on étudie le signe de 
.
Le signe est le même que celui de 
, on a donc le tableau de signes :
On en déduit que :
3. Justifier que , on considère l'expression : .
Pour étudier la position relative de et on étudie le signe de .
Le signe est le même que celui de , on a donc le tableau de signes :
- est au dessus de pour
,
- et se coupent pour
,
- est en dessous de pour
.
a même signe que 
.
La fonction est dérivable sur et on a :
avec :
Donc 
Comme , le signe de est le même que celui de .
4. En déduire le tableau de variation de la fonction est dérivable sur et on a :
avec :
Donc
Comme , le signe de est le même que celui de .
.
On a le tableau de variations :
5. Tracer la courbe
dans le repère . On prendra comme unités: 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées.
Partie C
Soit
un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine 
du plan compris entre la courbe , la droite et les droites d'équations respectives et 
.
1. Justifier que cette aire, exprimée en cm
, est donnée par:
Sur l'intervalle 
, on a vu que la droite est située au dessus de , donc l'aire
du domaine 
en unités d'aire s'obtient en calculant l'intégrale :
où pour tout entier 
, la fonction 
est définie et continue sur 
.
L'unité d'aire vaut 2 cm donc l'aire de exprimée en cm est donnée par :
2.a. On admet que , on a vu que la droite est située au dessus de , donc l'aire
du domaine en unités d'aire s'obtient en calculant l'intégrale :
où pour tout entier , la fonction est définie et continue sur .
L'unité d'aire vaut 2 cm donc l'aire de exprimée en cm est donnée par :
.
Dans le sujet original il faut calculer cette intégrale en utilisant une intégration par parties.
A partir de la session 2013 du baccalauréat, la méthode d'intégration par parties ne figure plus au programme.
b. En déduire l'expression de 
en fonction de .
Il suffit de multiplier par 2 le résultat précédent :
.
3. Calculer la limite de l'aire .
du domaine quand tend vers .
(limite de référence)
Donc 
.
Et finalement, par produit : 
.
