Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de mai 2012 au Liban
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Partie A
On considère la fonction![](/image/im000203.png)
![](/image/im002538.png)
![](/image/im002539.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im002538.png)
La fonction
est définie et dérivable sur
et pour tout nombre réel
de cet intervalle on a :
![](/image/im002540.png)
De manière évidente, pour tout
,
, donc la fonction
est strictement croissante sur
.
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000174.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im002540.png)
![](/image/im002541.png)
![](/image/im002542.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000174.png)
2. Justifier qu'il existe un unique réel
![](/image/im000198.png)
![](/image/im002543.png)
![](/image/im000198.png)
On commence par calculer les limites à droite en 0 et en
de la fonction
.
Limite à droite en 0
et par produit
.
Finalement, par somme
.
Limite en
et par produit
Finalement par addition,
.
Ainsi la fonction
est définie, continue et strictement croissante sur
avec :
tel que
.
Avec la calculette on trouve
.
![](/image/im000017.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im002544.png)
![](/image/im000163.png)
![](/image/im002545.png)
![](/image/im002546.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im002547.png)
![](/image/im000169.png)
![](/image/im002548.png)
![](/image/im001666.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000174.png)
![](/image/im002549.png)
![](/image/im002543.png)
![](/image/im002550.png)
![](/image/im002551.png)
3. En déduire le signe de la fonction
![](/image/im000203.png)
![](/image/im002538.png)
En utilisant ce qui précède on a directement le tableau de signes :
![](/image/im002552.png)
Partie B
On considère la fonction![](/image/im000063.png)
![](/image/im002538.png)
![](/image/im002553.png)
![](/image/im002554.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im002555.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000096.png)
![](/image/im000017.png)
Limite à droite en 0
et
donc
par quotient
.
Finalement par soustraction
.
Limite en
(limite de référence).
Finalement par soustraction
.
2. On considère la droite ![](/image/im002556.png)
![](/image/im000163.png)
![](/image/im002557.png)
![](/image/im002558.png)
![](/image/im002559.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im002560.png)
![](/image/im002561.png)
![](/image/im000173.png)
![](/image/im002115.png)
![](/image/im002562.png)
![](/image/im002554.png)
![](/image/im002115.png)
Dans le sujet original il faut établir que
est asymptote oblique à la courbe
.
Depuis la rentrée 2012, la notion d'asymptote oblique n'est plus au programme.
![](/image/im002115.png)
![](/image/im001096.png)
Pour tout
, on considère l'expression :
.
Pour étudier la position relative de
et
on étudie le signe de
.
Le signe est le même que celui de
, on a donc le tableau de signes :
On en déduit que :
3. Justifier que ![](/image/im002541.png)
![](/image/im002563.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im002115.png)
![](/image/im002564.png)
![](/image/im002565.png)
![](/image/im002566.png)
-
est au dessus de
pour
,
-
et
se coupent pour
,
-
est en dessous de
pour
.
![](/image/im001118.png)
![](/image/im000825.png)
La fonction
est dérivable sur
et on a :
avec :
![](/image/im001312.png)
![](/image/im002570.png)
Donc
Comme
, le signe de
est le même que celui de
.
4. En déduire le tableau de variation de la fonction ![](/image/im000063.png)
![](/image/im000174.png)
![](/image/im002569.png)
![](/image/im001312.png)
![](/image/im001313.png)
![](/image/im002570.png)
![](/image/im002571.png)
![](/image/im002572.png)
![](/image/im002541.png)
![](/image/im001118.png)
![](/image/im000825.png)
![](/image/im000063.png)
On a le tableau de variations :
5. Tracer la courbe ![](/image/im002573.png)
![](/image/im002554.png)
![](/image/im002555.png)
![](/image/im002574.png)
Partie C
Soit![](/image/im000061.png)
![](/image/im002575.png)
![](/image/im002554.png)
![](/image/im002115.png)
![](/image/im000213.png)
![](/image/im002576.png)
![](/image/im002577.png)
![](/image/im002578.png)
Sur l'intervalle
, on a vu que la droite
est située au dessus de
, donc l'aire
du domaine
en unités d'aire s'obtient en calculant l'intégrale :
où pour tout entier
, la fonction
est définie et continue sur
.
L'unité d'aire vaut 2 cm
donc l'aire de
exprimée en cm
est donnée par :
![](/image/im002582.png)
2.a. On admet que ![](/image/im001162.png)
![](/image/im002115.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im002579.png)
![](/image/im000261.png)
![](/image/im002580.png)
![](/image/im002581.png)
![](/image/im002577.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im002577.png)
![](/image/im002582.png)
![](/image/im002583.png)
Dans le sujet original il faut calculer cette intégrale en utilisant une intégration par parties.
A partir de la session 2013 du baccalauréat, la méthode d'intégration par parties ne figure plus au programme.
b. En déduire l'expression de ![](/image/im002010.png)
![](/image/im000061.png)
Il suffit de multiplier par 2 le résultat précédent :
.
3. Calculer la limite de l'aire ![](/image/im002584.png)
![](/image/im002010.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im002585.png)
![](/image/im002490.png)
![](/image/im002586.png)
![](/image/im002587.png)