Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2013 dans les centres étrangers
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L'objet de cet exercice est l'étude de la suite
définie par son premier terme 
et
la relation de récurrence :
Partie A - Algorithmique et conjectures
Pour calculer et afficher le terme
de la suite, un élève propose
l'algorithme ci-dessous dans lequel il a oublié de compléter deux lignes.
Il s'agit d'assurer qu'à chaque tour de boucle, le terme suivant de la suite soit calculé
en utilisant la relation de récurrence, ce qui donne :
Affecter à 
la valeur 
Affecter à 
la valeur 
la valeur
Affecter à la valeur
2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite
jusqu'à ?
Il faut placer l'instruction d'affichage dans la boucle, comme on veut
l'affichage de à cette instruction doit figurer après l'affectation de
(si on place l'instruction avant on aura l'affichage des termes
de 
à 
). Cela donne l'algorithme :
3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième :
à cette instruction doit figurer après l'affectation de
(si on place l'instruction avant on aura l'affichage des termes
de à ). Cela donne l'algorithme :
Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite .
On peut conjecturer que la suite est décroissante et qu'elle converge vers 0.
Partie B - Etude mathématique
On définit une suite auxiliaire
par :
pour tout entier 
, 
1. Monter que la suite est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
Pour tout entier on a :
Cela prouve que la suite est une suite géométrique de raison 
.
Son premier terme est 
.
2. En déduire que pour tout entier on a :
Cela prouve que la suite est une suite géométrique de raison .
Son premier terme est .
, on a : 
.
Puisque que est géométrique, on peut exprimer 
en fonction de :
(on n'oublie pas que le premier terme est indicé 1)
On a de plus 
En remplaçant par son expression, il vient :
3. Déterminer la limite de la suite est géométrique, on peut exprimer en fonction de :
(on n'oublie pas que le premier terme est indicé 1)
On a de plus
En remplaçant par son expression, il vient :
.
car 
et par somme :
.
Donc 
, on a :
.
Pour tout entier on a :
Tous les facteurs qui interviennent dans la fraction sont positifs, avec le signe 
qui figure
devant le trait de fraction, on conclut que 
et donc que la suite est
strictement décroissante.
on a :
Tous les facteurs qui interviennent dans la fraction sont positifs, avec le signe qui figure
devant le trait de fraction, on conclut que et donc que la suite est
strictement décroissante.
Partie C - Retour à l'algorithmique
En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier tel que 
.
