Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2013 dans les centres étrangers
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On considère la fonction![](/image/im000203.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im005502.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im000830.png)
On note
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000847.png)
![](/image/im000213.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im005503.png)
![](/image/im000140.png)
Partie A
Soit![](/image/im000329.png)
![](/image/im005504.png)
![](/image/im005505.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im005506.png)
![](/image/im000847.png)
![](/image/im001018.png)
![](/image/im005507.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im005506.png)
![](/image/im001018.png)
![](/image/im000213.png)
![](/image/im005505.png)
![](/image/im005507.png)
![](/image/im005508.png)
![](/image/im005509.png)
La fonction
étant continue et positive sur
, l'aire considérée s'exprime par l'intégrale :
b. Exprimer ![](/image/im000203.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im005510.png)
![](/image/im005507.png)
![](/image/im000329.png)
On a de même pour
:
2. Soit ![](/image/im005507.png)
![](/image/im005511.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im005512.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im005223.png)
![](/image/im005513.png)
La fonction
est dérivable sur
et on a :
Il est évident que pour tout
,
donc la fonction
considérée est strictement croissante et on a le tableau de variations :
b. Démontrer que la fonction ![](/image/im000063.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im005514.png)
![](/image/im002014.png)
![](/image/im002719.png)
![](/image/im005515.png)
![](/image/im005516.png)
![](/image/im005517.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im000198.png)
![](/image/im000198.png)
La fonction
est continue et strictement croissante sur
, avec :
et d'après le théorème des valeurs intermédiaires
l'équation
admet une unique solution dans l'intervalle
(l'unicité
étant assurée par la stricte croissance de
).
En utilisant la calculette on trouve
.
3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel ![](/image/im000063.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im005520.png)
![](/image/im002830.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005521.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im005505.png)
![](/image/im005507.png)
En utilisant les résultats de la question 1 on a :
En utilisant la question 2. on en déduit qu'il existe une unique valeur de
pour
laquelle
dont une valeur approchée est
.
![](/image/im005522.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im005523.png)
![](/image/im005524.png)
Partie B
Soit![](/image/im000328.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im005525.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im005526.png)
Un petit dessin :
On cherche
tel que
.
On peut facilement déterminer l'aire du domaine
, en calculant, par exemple :
.
Donc
et compte-tenu de la situation (voir graphique), il n'est pas
possible d'avoir
si
, donc
soit
.
2. Déterminer la valeur exacte du réel ![](/image/im005527.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im005528.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im005529.png)
![](/image/im005530.png)
![](/image/im005530.png)
![](/image/im005531.png)
![](/image/im005532.png)
![](/image/im005526.png)
![](/image/im000328.png)
Le domaine
est un rectangle
dont un côté mesure 1 unité et dont l'aire doit être égale à la moitié de l'aire du domaine
.
Donc
doit valoir la moitié de l'aire de
, ce qui donne :
.
![](/image/im005533.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im005534.png)