Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2013 dans les centres étrangers

Cacher les corrigés

 On considère la fonction définie pour tout réel de l'intervalle par :
On admet que, pour tout réel de l'intervalle , .

 

 

On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal, et le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe , d'autre part entre les droites d'équation et .
La courbe et le domaine sont représentés ci-dessous.
Le but de cet exercice est de partager le domaine en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

 

 

Partie A

Soit un réel tel que .
On note l'aire du domaine compris entre la courbe , l'axe , les droites d'équation et , puis celle du domaine compris entre la courbe , l'axe et les droites d'équation et .
et sont exprimées en unité d'aire.
1.a. Démontrer que .
La fonction étant continue et positive sur , l'aire considérée s'exprime par l'intégrale :
b. Exprimer en fonction de .
On a de même pour :
2. Soit la fonction définie pour tout réel de l'intervalle par :
a. Dresser le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle . On précisera les valeurs exactes de et .
La fonction est dérivable sur et on a :
Il est évident que pour tout , donc la fonction considérée est strictement croissante et on a le tableau de variations :
b. Démontrer que la fonction s'annule une fois et une seule sur l'intervalle en un réel .
Donner la valeur de arrondie au centième.
La fonction est continue et strictement croissante sur , avec :
du coup et d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation admet une unique solution dans l'intervalle (l'unicité étant assurée par la stricte croissance de ).
En utilisant la calculette on trouve .
3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel pour lequel les aires et sont égales.
En utilisant les résultats de la question 1 on a :
En utilisant la question 2. on en déduit qu'il existe une unique valeur de pour laquelle dont une valeur approchée est .

Partie B

Soit un réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine en deux domaines de même aire par la droite d'équation . On admet qu'il existe un unique réel positif solution.
1. Justifier l'inégalité . On pourra utiliser un argument graphique.
Un petit dessin :
On cherche tel que .
On peut facilement déterminer l'aire du domaine , en calculant, par exemple :
.
Donc et compte-tenu de la situation (voir graphique), il n'est pas possible d'avoir si , donc soit .
2. Déterminer la valeur exacte du réel .
Le domaine est un rectangle dont un côté mesure 1 unité et dont l'aire doit être égale à la moitié de l'aire du domaine . Donc doit valoir la moitié de l'aire de , ce qui donne :
.

 

Licence Creative Commons

Conditions Générales d'Utilisation