Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de juin 2013 dans les centres étrangers
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Pour chaque affirmation, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé on considère :
- les points A
, B
, C
, D
et E
;
- le plan
d'équation cartésienne : 
.
Affirmation 1
Une équation cartésienne du plan parallèle à et passant par le point A est :
Par lecture sur l'équation de , un vecteur normal à ce plan est 
.
Le plan dont on propose une équation a pour vecteur normal 
Les vecteur 
et 
ne sont pas colinéaires, donc
les deux plans ne peuvent pas être parallèles.
L'affirmation est FAUSSE.
, un vecteur normal à ce plan est .
Le plan dont on propose une équation a pour vecteur normal
Les vecteur et ne sont pas colinéaires, donc
les deux plans ne peuvent pas être parallèles.
L'affirmation est FAUSSE.
Affirmation 2
Une représentation paramétrique de la droite (AC) est :
En prenant 
dans la représentation paramétrique on obtient :
ce qui prouve que A appartient à la droite.
En prenant 
dans la représentation paramétrique on obtient :
ce qui prouve que C appartient à la droite.
Ainsi la droite dont on donne la représentation paramétrique passe par A et C, donc elle
coïncide avec la droite (AC).
L'affirmation est VRAIE.
dans la représentation paramétrique on obtient :
ce qui prouve que A appartient à la droite.
En prenant dans la représentation paramétrique on obtient :
ce qui prouve que C appartient à la droite.
Ainsi la droite dont on donne la représentation paramétrique passe par A et C, donc elle
coïncide avec la droite (AC).
L'affirmation est VRAIE.
Affirmation 3
La droite (DE) et le plan ont au moins un point commun.
Un vecteur directeur de (DE) est
soit
.
Un vecteur normal à est .
Le produit scalaire de ces deux vecteurs donne :
Cela signifie que la droite (DE) est parallèle au plan , il reste à savoir
si elle est incluse dans le plan ou si elle est strictement parallèle, pour cela on regarde, par
exemple, si le point D appartient au plan en testant si les coordonnées de
ce point vérifient l'équation cartésienne de :
Donc 
, du coup la droite est strictement parallèle au plan et n'a pas
de point commun avec lui.
L'affirmation est FAUSSE.
soit
.
Un vecteur normal à est .
Le produit scalaire de ces deux vecteurs donne :
Cela signifie que la droite (DE) est parallèle au plan , il reste à savoir
si elle est incluse dans le plan ou si elle est strictement parallèle, pour cela on regarde, par
exemple, si le point D appartient au plan en testant si les coordonnées de
ce point vérifient l'équation cartésienne de :
Donc , du coup la droite est strictement parallèle au plan et n'a pas
de point commun avec lui.
L'affirmation est FAUSSE.
Affirmation 4
La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).
On commence par déterminer les coordonnées des vecteurs 
et
:
soit
soit
On remarque au passage que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires et que A, B et C définissent
bien un plan.
Pour savoir si (DE) est orthogonale à (ABC) on regarde si 
est
orthogonal à et en faisant les
produits scalaires :
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc
la droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).
L'affirmation est VRAIE.
et
:
soit
soit
On remarque au passage que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires et que A, B et C définissent
bien un plan.
Pour savoir si (DE) est orthogonale à (ABC) on regarde si est
orthogonal à et en faisant les
produits scalaires :
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc
la droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).
L'affirmation est VRAIE.
