Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de juin 2013 dans les centres étrangers
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Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques.
Partie A
La durée de vie d'une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire![](/image/im005029.png)
![](/image/im005445.png)
La durée de vie moyenne d'une vanne correspond à l'espérance de
. Or comme
suit une loi exponentielle on sait que :
.
Donc la durée de vie moyenne d'une vanne est de 5000 heures.
2. Calculer la probabilité, à 0,001 près, que la durée de vie d'une vanne soit supérieure à 6000 heures.
![](/image/im005029.png)
![](/image/im005029.png)
![](/image/im005452.png)
La fonction densité de probabilité associée à la loi exponentielle de paramètre
est la
fonction
, donc on a :
![](/image/im005453.png)
![](/image/im005454.png)
![](/image/im005455.png)
Partie B
Avec trois vannes identiques V![](/image/im002270.png)
![](/image/im002609.png)
![](/image/im002610.png)
![](/image/im005456.png)
![](/image/im002270.png)
![](/image/im002609.png)
![](/image/im002610.png)
- F
, l'événement : « la vanne V
est en état de marche après 6000 heures » ;
- F
, l'événement : « la vanne V
est en état de marche après 6000 heures » ;
- F
, l'événement : « la vanne V
est en état de marche après 6000 heures » ;
- E l'événement : « le circuit est en état de marche après 6000 heures ».
![](/image/im002270.png)
![](/image/im002609.png)
![](/image/im002610.png)
![](/image/im005474.png)
![](/image/im005457.png)
L'événement E correspond à la réunion des deux événements incompatibles :
ce qui donne :
.
3. Sachant que le circuit est en état de marche après 6000 heures, calculer la probabilité que la vanne V-
(la vanne V
fonctionne et peu importe les vannes V
et V
)
-
(la vanne V
ne fonctionne pas et les vannes V
et V
fonctionnent)
![](/image/im005460.png)
![](/image/im005461.png)
![](/image/im002270.png)
On a :
![](/image/im005462.png)
Partie C
L'industriel affirme que seulement 2 % des vannes qu'il fabrique sont défectueuses. On suppose que cette affirmation est vraie, et l'on note![](/image/im000181.png)
![](/image/im000181.png)
On utilise directement l'intervalle vu en cours :
![](/image/im005463.png)
avec
et
.
On peut vérifier que les conditions habituelles d'utilisation sont vérifiées :
2. On choisit 400 vannes au hasard dans la production. On assimile ce choix à un tirage aléatoire
de 400 vannes, avec remise, dans la production.
Parmi ces 400 vannes, 10 sont défectueuses.
Au vu de ce résultat, peut-on remettre en cause, au seuil de 95 %, l'affirmation de l'industriel ?
![](/image/im005463.png)
![](/image/im005464.png)
![](/image/im005465.png)
-
, donc
;
-
, donc
;
-
, donc
![](/image/im005468.png)
La proportion de vannes défectueuses observée dans l'échantillon ainsi réalisé est :
.
Or
, donc on ne peut pas remettre en cause l'affirmation de l'industriel.
![](/image/im005469.png)
![](/image/im005470.png)
Partie D
Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième. L'industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients. La demande mensuelle est une variable aléatoire![](/image/im003925.png)
![](/image/im005448.png)
![](/image/im005449.png)
![](/image/im005450.png)
En utilisant la calculette on obtient directement :
.
2. Déterminer ![](/image/im005471.png)
![](/image/im005451.png)
Toujours avec la calculette on obtient :
3. L'industriel pense que s'il constitue un stock mensuel de 880 vannes, il n'aura pas plus de 1 %
de chance d'être en rupture de stock. A-t-il raison ?
![](/image/im005472.png)
La probabilité pour qu'il soit en rupture de stock est :
.
Donc la probabilité qu'il soit en rupture de stock est d'environ 2,3 %, il a donc tort.
![](/image/im005473.png)