Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2012 en Asie
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1. On considère l'algorithme suivant :
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour
et 
. Les valeurs successives de 
et 
seront arrondies au millième.
et 
sont deux réels tels que 
.
On considère les suites 
et 
définies par
et pour tout entier naturel 
:
2.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
, on a 
et 
.
La propriété à montrer pour tout entier 
est :
: 
et 
Initialisation au rang 0
On a 
et 
avec 
, donc 
est vraie.
Hérédité
On suppose que 
est vraie à un rang 
, c'est à dire qu'on a l'hypothèse de récurrence : 
et 
.
On cherche à montrer, qu'alors, 
est vraie.
est vraie.
La propriété est initialisée au rang 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel .
b. Démontrer que, pour tout entier naturel est :
: et
Initialisation au rang 0
On a et avec , donc est vraie.
Hérédité
On suppose que est vraie à un rang , c'est à dire qu'on a l'hypothèse de récurrence : et .
On cherche à montrer, qu'alors, est vraie.
-
, or par hypothèse, et , donc 
soit 
.
-
, or par hypothèse, et , donc 
, soit 
.
est vraie.
La propriété est initialisée au rang 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel .
: 
.
En déduire que, pour tout entier naturel , on a 
.
Donc pour tout entier naturel , 
, soit 
et comme
et 
sont positifs on obtient 
, ce qui entraîne que pour tout entier 
: 
et comme 
on a le résultat
pour tout entier naturel .
est croissante.
Pour tout entier naturel , on a :
or pour tout , 
, donc 
et du coup 
, c'est à dire que 
ou encore
que 
est croissante.
b. Comparer , on a :
or pour tout , , donc et du coup , c'est à dire que ou encore
que est croissante.
et 
.
En déduire le sens de variation de la suite .
Pour tout entier naturel :
or pour tout entier naturel , 
donc 
et du coup 
, soit
et comme et 
on en déduit que 
c'est à dire que 
est décroissante.
4. Justifier que pour tout entier naturel :
or pour tout entier naturel , donc et du coup , soit
et comme et on en déduit que c'est à dire que est décroissante.
, 
et en déduire que les suites et sont convergentes.
- est croissante, donc elle est minorée par
, soit 
,
- est décroissante, donc elle est majorée par
, soit 
,
- on a
, on a : .
Ainsi la suite est croissante et majorée par , donc elle est convergence d'après le théorème sur la convergence des suites monotones, de
même, la suite est décroissante et minorée par , donc elle est également convergente.
