Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2012 en Asie
Cacher les corrigés
1. On considère l'algorithme suivant :![](/image/im003823.png)
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour
![](/image/im003824.png)
![](/image/im003825.png)
![](/image/im000186.png)
![](/image/im000004.png)
![](/image/im003826.png)
![](/image/im003827.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im000328.png)
![](/image/im003828.png)
![](/image/im000060.png)
![](/image/im000947.png)
![](/image/im003829.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003830.png)
2.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003831.png)
![](/image/im003832.png)
La propriété à montrer pour tout entier
est :
:
et
Initialisation au rang 0
On a
et
avec
, donc
est vraie.
Hérédité
On suppose que
est vraie à un rang
, c'est à dire qu'on a l'hypothèse de récurrence :
et
.
On cherche à montrer, qu'alors,
est vraie.
est vraie.
La propriété
est initialisée au rang 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel
.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel ![](/image/im000246.png)
![](/image/im000353.png)
![](/image/im003230.png)
![](/image/im003833.png)
![](/image/im003834.png)
![](/image/im003835.png)
![](/image/im003836.png)
![](/image/im001932.png)
![](/image/im001915.png)
![](/image/im000307.png)
![](/image/im003332.png)
![](/image/im003837.png)
![](/image/im000095.png)
-
, or par hypothèse,
et
, donc
soit
.
-
, or par hypothèse,
et
, donc
, soit
.
![](/image/im000095.png)
![](/image/im000353.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003843.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003844.png)
![](/image/im003845.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003846.png)
![](/image/im003847.png)
![](/image/im000734.png)
![](/image/im001494.png)
![](/image/im003848.png)
![](/image/im000261.png)
![](/image/im003849.png)
![](/image/im003850.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000060.png)
Pour tout entier naturel
, on a :
or pour tout
,
, donc
et du coup
, c'est à dire que
ou encore
que
est croissante.
b. Comparer ![](/image/im000061.png)
![](/image/im003851.png)
![](/image/im000246.png)
![](/image/im003648.png)
![](/image/im003852.png)
![](/image/im003853.png)
![](/image/im000742.png)
![](/image/im000102.png)
![](/image/im003854.png)
![](/image/im003855.png)
![](/image/im000947.png)
Pour tout entier naturel
:
or pour tout entier naturel
,
donc
et du coup
, soit
et comme
et
on en déduit que
c'est à dire que
est décroissante.
4. Justifier que pour tout entier naturel ![](/image/im000061.png)
![](/image/im003856.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003857.png)
![](/image/im003858.png)
![](/image/im003859.png)
![](/image/im003860.png)
![](/image/im003833.png)
![](/image/im003861.png)
![](/image/im003862.png)
![](/image/im000296.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003863.png)
![](/image/im000060.png)
![](/image/im000947.png)
-
est croissante, donc elle est minorée par
, soit
,
-
est décroissante, donc elle est majorée par
, soit
,
- on a
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003863.png)
![](/image/im000102.png)
![](/image/im003865.png)
![](/image/im000296.png)
![](/image/im000271.png)