Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de juin 2013 aux Antilles
Cacher les corrigés
On définit les suite
![](/image/im000102.png)
et
![](/image/im000296.png)
sur l'ensemble
![](/image/im000251.png)
des entiers naturels par:
![](/image/im006043.png)
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites
![](/image/im000102.png)
et
![](/image/im000296.png)
.
1. Calculer
![](/image/im000272.png)
et
![](/image/im001490.png)
.
2. On considère l'algorithme suivant:
a. On exécute cet algorithme en saisissant
![](/image/im006047.png)
. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.
Détail de l'étape 2 :
b. Pour un nombre N donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
Les valeurs affichées sont les termes de rang N des suites
![](/image/im000102.png)
et
![](/image/im000296.png)
.
3. Pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
on définit le vecteur colonne
![](/image/im006052.png)
par
![](/image/im006053.png)
et la matrice A par
![](/image/im006054.png)
.
a. Vérifier que, pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
,
![](/image/im006055.png)
.
On calcule :
![](/image/im006056.png)
.
Avec :
et :
Donc on a bien
![](/image/im006055.png)
.
b. Démontrer par récurrence que
![](/image/im006059.png)
pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
.
La propriété à montrer pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
est :
: «
»
Initialisation :
![](/image/im006060.png)
, donc
![](/image/im001932.png)
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang
![](/image/im000307.png)
:
![](/image/im006061.png)
.
Montrons, qu'alors elle est vraie au rang
![](/image/im000093.png)
.
Donc
![](/image/im000095.png)
est vraie.
Ainsi
![](/image/im000353.png)
est vraie pour
![](/image/im003626.png)
et est héréditaire donc la propriété est
vraie pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
.
4. On définit les matrices P, P' et B par
![](/image/im006063.png)
,
![](/image/im006064.png)
et
![](/image/im006065.png)
.
a. Calculer le produit PP'.
On admet que P'BP=A.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
,
![](/image/im006066.png)
.
Cette fois la propriété à montrer pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
est :
: «
»
Initialisation
![](/image/im006069.png)
et
![](/image/im006070.png)
,
donc on a
![](/image/im006071.png)
ce qui montre que
![](/image/im001932.png)
est vraie.
Hérédité
On suppose que
![](/image/im001915.png)
est vraie :
![](/image/im006072.png)
(hypothèse de récurrence).
Montrons qu'alors
![](/image/im000095.png)
est vraie.
Ainsi,
![](/image/im000095.png)
est vraie.
La propriété en question est initialisée au rang 0 ; elle est héréditaire, donc
elle est vraie pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
.
b. On admet que pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
,
![](/image/im006074.png)
.
En déduire l'expression de la matrice
![](/image/im004731.png)
en fonction de
![](/image/im000061.png)
.
On calcule déjà :
puis :
5.a. Montrer que
![](/image/im006077.png)
pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
.
En déduire les expressions de
![](/image/im000250.png)
et
![](/image/im001493.png)
en fonction de
![](/image/im000061.png)
.
En utilisant l'expression de A
![](/image/im006078.png)
trouvée à la question précédente on a :
b. Déterminer alors les limites des suites
![](/image/im000102.png)
et
![](/image/im000296.png)
.
Ainsi,
![](/image/im006080.png)
et
Comme
![](/image/im006082.png)
, on a
![](/image/im006083.png)
.
Du coup
![](/image/im006084.png)
.
Conditions Générales d'Utilisation