Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de juin 2013 aux Antilles
Cacher les corrigés
On définit les suite
et 
sur l'ensemble 
des entiers naturels par:
et .
1. Calculer
et 
.
. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.
-
: 
-
: 
Les valeurs affichées sont les termes de rang N des suites et .
et .
3. Pour tout entier naturel
on définit le vecteur colonne 
par 
et la matrice A par 
.
a. Vérifier que, pour tout entier naturel , 
.
On calcule :
.
Avec : 
et : 
Donc on a bien .
b. Démontrer par récurrence que .
Avec :
et :
Donc on a bien .
pour tout entier naturel .
La propriété à montrer pour tout entier naturel est :
: « »
Initialisation :
, donc 
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang 
: 
.
Montrons, qu'alors elle est vraie au rang 
.
Donc 
est vraie.
Ainsi est vraie pour 
et est héréditaire donc la propriété est
vraie pour tout entier naturel .
4. On définit les matrices P, P' et B par est :
: « »
, donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang : .
Montrons, qu'alors elle est vraie au rang .
Donc est vraie.
Ainsi est vraie pour et est héréditaire donc la propriété est
vraie pour tout entier naturel .
, 
et 
.
a. Calculer le produit PP'.
On admet que P'BP=A.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel , 
.
Cette fois la propriété à montrer pour tout entier naturel est :
: « 
»
et 
,
donc on a 
ce qui montre que
est vraie.
Hérédité
On suppose que 
est vraie : 
(hypothèse de récurrence).
Montrons qu'alors est vraie.
Ainsi, est vraie.
La propriété en question est initialisée au rang 0 ; elle est héréditaire, donc
elle est vraie pour tout entier naturel .
, 
.
En déduire l'expression de la matrice 
en fonction de .
On calcule déjà :
puis :
5.a. Montrer que
puis :
pour tout entier naturel .
En déduire les expressions de 
et 
en fonction de .
En utilisant l'expression de A
trouvée à la question précédente on a :
b. Déterminer alors les limites des suites trouvée à la question précédente on a :
et .
Ainsi, 
et
Comme 
, on a 
.
Du coup 
.
et
Comme , on a .
Du coup .
