Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2013 aux Antilles
Cacher les corrigés
On considère la suite![](/image/im005985.png)
![](/image/im005986.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005987.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005988.png)
![](/image/im000926.png)
![](/image/im005989.png)
![](/image/im005640.png)
![](/image/im005989.png)
![](/image/im000952.png)
![](/image/im005647.png)
Partie A
1. Donner![](/image/im005990.png)
![](/image/im005991.png)
On sait que
, donc
et
.
b. Calculer ![](/image/im005992.png)
![](/image/im005993.png)
![](/image/im005994.png)
![](/image/im002504.png)
![](/image/im005995.png)
![](/image/im005996.png)
![](/image/im005997.png)
![](/image/im005998.png)
![](/image/im005999.png)
![](/image/im006000.png)
![](/image/im006001.png)
![](/image/im006002.png)
![](/image/im006003.png)
![](/image/im006004.png)
L'algorithme affiche le terme de rang N de la suite
.
![](/image/im002257.png)
Partie B
1. Pour tout entier naturel![](/image/im000061.png)
![](/image/im006007.png)
![](/image/im000926.png)
![](/image/im005640.png)
![](/image/im006008.png)
![](/image/im000926.png)
![](/image/im005640.png)
![](/image/im006009.png)
![](/image/im005640.png)
![](/image/im006010.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005647.png)
![](/image/im005640.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005647.png)
La relation
montre que
est une suite géométrique de raison
.
Son premier terme est
.
Sa formule explicite est
.
Comme
,
.
3.a. On rappelle que pour tous nombres complexes ![](/image/im006012.png)
![](/image/im005648.png)
![](/image/im000706.png)
![](/image/im005994.png)
![](/image/im006013.png)
![](/image/im006014.png)
![](/image/im006015.png)
![](/image/im000415.png)
![](/image/im000517.png)
![](/image/im006016.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im006017.png)
Pour tout entier naturel
:
b. Pour tout entier naturel ![](/image/im000061.png)
![](/image/im006018.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im006019.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im006020.png)
![](/image/im000060.png)
On considère la propriété
:
«
»
Initialisation au rang 0
et
, donc
ce qui montre que
est vraie.
Hérédité
On suppose que
est vraie pour un entier
:
.
On remarque que la question a. précédente nous donne l'inégalité :
En multipliant par
l'inégalité de l'hypothèse de récurrence on a :
et du coup :
, ce
qui prouve que
est vraie.
La propriété est donc héréditaire.
Ainsi
est vraie au rang 0, elle est héréditaire, donc elle
est vraie pour tout entier naturel
.
Comme
est un module on a
et donc pour tout entier naturel
:
Comme
,
, donc
d'après le théorème des gendarmes,
.
c. Montrer que, pour tout entier naturel ![](/image/im000353.png)
![](/image/im006021.png)
![](/image/im006022.png)
![](/image/im006023.png)
![](/image/im006024.png)
![](/image/im001932.png)
![](/image/im001915.png)
![](/image/im000307.png)
![](/image/im006025.png)
![](/image/im006026.png)
![](/image/im000053.png)
![](/image/im006027.png)
![](/image/im006028.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im000353.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000250.png)
![](/image/im006029.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im006030.png)
![](/image/im005932.png)
![](/image/im006031.png)
![](/image/im006032.png)
![](/image/im006033.png)
![](/image/im000952.png)
Pour tout entier naturel
:
donc
On a :
, car
, puis :
, (fonction racine croissante sur
)
Cette inégalité correspond exactement à
.
Ainsi :
, avec
, donc d'après le
théorème des gendarmes,
ce
qui entraîne que
.
![](/image/im000061.png)
![](/image/im006034.png)
![](/image/im006035.png)
![](/image/im006036.png)
![](/image/im006037.png)
![](/image/im006038.png)
![](/image/im000008.png)
![](/image/im006039.png)
![](/image/im006040.png)
![](/image/im002496.png)
![](/image/im006041.png)
![](/image/im006042.png)