Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2013 aux Antilles
Cacher les corrigés
Dans tout ce qui suit,
désigne un nombre réel quelconque.
Partie A
Soit
la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels 
telle que :
1. Calculer la limite de
en 
et en 
.
Limite en
et
, donc
par produit 
.
Limite en
On a une forme indéterminée, mais pour tout 
on peut écrire :
.
(limite connue).
.
Donc par somme 
.
On note
et
, donc
par produit .
Limite en
On a une forme indéterminée, mais pour tout on peut écrire :
.
(limite connue).
.
Donc par somme .
la fonction dérivée de la fonction sur 
.
Démontrer que pour tout réel 
.
La fonction est dérivable sur et on a :
avec :
; 
; 
est dérivable sur et on a :
avec :
;
;
3. Dresser le tableau de variation de
sur .
Pour tout , 
, donc le signe de 
est le même
que celui de 
, ce qui donne le tableau de variations :
, , donc le signe de est le même
que celui de , ce qui donne le tableau de variations :
Partie B
On définit la fonction
sur par
la courbe de la fonction dans un repère 
du plan.
1.a. Démontrer que 
si et seulement si 
.
Pour tout on a :
b. Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe on a :
avec l'axe des abscisses en fonction du réel .
D'après la question précédente, le nombre de points d'intersection de la courbe
avec l'axe des abscisses coïncide avec le nombre de solutions de l'équation 
.
En exploitant le tableau de variations de la fonction on obtient les résultats suivants :
2. On a représenté ci-dessous les courbes .
En exploitant le tableau de variations de la fonction on obtient les résultats suivants :
- pour
, aucune solution pour ,
aucun point d'intersection ;
- pour
, une unique solution pour ,
un unique point d'intersection ;
- pour
, deux solutions pour ,
deux points d'intersection ;
- pour
, une unique solution pour ,
un unique point d'intersection.
, 
et 
(obtenues en prenant respectivement pour les valeurs 
, e et 
).
L'expression de 
est : 
, c'est donc une fonction affine, sa courbe représentative est une droite, donc c'est
la courbe 2.
, dans ce cas 
, donc
la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses et du coup la seule possibilité est la courbe 1.
Par élimination la courbe de 
est la courbe 3.
3. Etudier la position de la courbe est : , c'est donc une fonction affine, sa courbe représentative est une droite, donc c'est
la courbe 2.
, dans ce cas , donc
la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses et du coup la seule possibilité est la courbe 1.
Par élimination la courbe de est la courbe 3.
par rapport à la droite 
d'équation 
suivant les valeurs du réel .
Il s'agit d'étudier le signe de 
.
Pour tout , 
et le signe de l'expression considérée
est du signe contraire de . Ainsi pour tout , on a :
4.a. On appelle D.
Pour tout , et le signe de l'expression considérée
est du signe contraire de . Ainsi pour tout , on a :
- pour
, 
soit 
, donc 
est
situé au dessus de la droite ;
- pour
, et coïncident ;
- pour
, 
soit 
, donc
est situé en dessous de la droite .
la partie du plan comprise entre les courbes 
, l'axe (O
) et la droite 
.
Hachurer D sur le la figure.
désigne un réel positif, D
la partie du plan comprise entre ,
l'axe (O) et la droite 
d'équation 
. On désigne par 
l'aire de cette partie du plan exprimée en unités d'aire.
Démontrer que pour tout réel a positif : 
.
En déduire la limite de quand tend vers 
.
A partir de l'étude précédente, on peut dire que la courbe 
est située au dessus de elle-même située au dessus de 
.
Donc est située au dessus de et du coup
pour tout réel 
, on a :
et
par composition 
.
Du coup par somme : 
.
est située au dessus de elle-même située au dessus de .
Donc est située au dessus de et du coup
pour tout réel , on a :
et
par composition .
Du coup par somme : .
