Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de juin 2013 aux Antilles
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Partie A
Soient
un entier naturel, 
un nombre réel compris entre 
et 
et 
une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres et .
On note 
et 
une valeur prise par 
.
On rappelle que, pour assez grand, l'intervalle 
contient la fréquence avec
une probabilité au moins égale à 0,95.
En déduire que l'intervalle 
contient avec une probabilité au moins égale à 0,95.
Pour assez grand, avec une probabilité au moins égale à 0,95 on a :
assez grand, avec une probabilité au moins égale à 0,95 on a :
Partie B
On cherche à étudier le nombre d'étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples. Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées A, B et C, la bonne réponse étant la A. On note
la probabilité pour qu'un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond A, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).
On interroge un étudiant au hasard. On note :
- A l'événement « l'étudiant répond A »,
- B l'événement « l'étudiant répond B »,
- C l'événement « l'étudiant répond C »,
- R l'événement « l'étudiant connait la réponse »,
-
l'événement contraire de R.
b. Montrer que la probabilité de l'événement A est
.
Les événements R et forment une partition de l'univers.
Avec la formule des probabilités totales on a :
c. Exprimer en fonction de forment une partition de l'univers.
Avec la formule des probabilités totales on a :
la probabilité qu'une personne ayant choisi A connaisse la bonne réponse.
Il s'agit de calculer : 
2. Pour estimer
, on interroge 400 personnes et on note 
la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses.
On admettra qu'interroger au hasard 400 étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de 400 étudiants dans l'ensemble de tous les étudiants.
a. Donner la loi de et ses paramètres et en fonction de .
On répète de façon indépendante (tirage avec remise) 400 fois une même expérience de Bernoulli,
dont la probabilité du succès (une bonne réponse) est 
.
La variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses suit une loi
binomiale de paramètres : 
et 
.
b. Dans un premier sondage, on constate que 240 étudiants répondent A, parmi les 400 interrogés.
Donner un intervalle de confiance au seuil de 95 % de l'estimation de .
La variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses suit une loi
binomiale de paramètres : et .
.
En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95 % de .
Un intervalle de confiance pour au seuil de 95 % est :
et , ce qui donne :
Et on a :
Donc un intervalle de confiance pour au seuil de 95 % est 
.
c. Dans la suite, on suppose que au seuil de 95 % est :
et , ce qui donne :
Et on a :
Donc un intervalle de confiance pour au seuil de 95 % est .
. Compte-tenu du grand nombre d'étudiants, on considérera que suit une loi normale.
i. Donner les paramètres de cette loi normale.
La variable aléatoire considérée suit donc une loi binomiale de paramètre et
.
Son espérance est : 
;
son écart-type est : 
.
Donc on peut considérer que suit une loi normale de paramétres 
et 
.
ii. Donner une valeur approchée de considérée suit donc une loi binomiale de paramètre et
.
Son espérance est : ;
son écart-type est : .
Donc on peut considérer que suit une loi normale de paramétres et .
à 
près.
On pourra s'aider de la table donnée ci-dessous, qui donne une valeur approchée de 
où est la variable aléatoire de la question 2. c.
Par simple lecture dans le tableau donné on a :
.
