Corrigé de l'exercice 3 de maths du bac S de juin 2012 aux Antilles
Cacher les corrigés
Soit![](/image/im000060.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003325.png)
![](/image/im003326.png)
![](/image/im003327.png)
2.a. Démontrer que, pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003203.png)
On montre cela par récurrence.
La propriété
à montrer pour tout entier naturel
non nul est :
: «
».
Initialisation
On a
et
, donc
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang
, c'est à dire que l'on a
.
On cherche à montrer qu'avec cette hypothèse on a aussi
.
Par définition de la suite
, comme
,
et comme par hypothèse
on en déduit que
(c'est un produit de
deux quantités strictement positives), du coup
est vraie.
Ainsi la propriété
est vraie au rang 1 et elle est héréditaire, donc selon le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel
.
![](/image/im000353.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000353.png)
![](/image/im003230.png)
![](/image/im000266.png)
![](/image/im003331.png)
![](/image/im000143.png)
![](/image/im001722.png)
![](/image/im003332.png)
![](/image/im003333.png)
![](/image/im003334.png)
![](/image/im001722.png)
![](/image/im003335.png)
![](/image/im003332.png)
![](/image/im003333.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im000353.png)
![](/image/im000261.png)
b. Démontrer que la suite
![](/image/im000060.png)
Comme
pour tout entier naturel
, on peut considérer le rapport :
Pour tout
,
, donc
soit
et comme
, cela prouve que
, donc que
est décroissante.
c. Que peut-on en déduire pour la suite ![](/image/im003230.png)
![](/image/im000261.png)
![](/image/im003336.png)
![](/image/im000261.png)
![](/image/im003337.png)
![](/image/im003338.png)
![](/image/im003339.png)
![](/image/im003230.png)
![](/image/im003340.png)
![](/image/im000102.png)
![](/image/im000060.png)
La suite
est décroissante et minorée par 0 donc elle est convergente.
3. Pour tout entier naturel ![](/image/im000102.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003341.png)
![](/image/im000947.png)
![](/image/im003342.png)
Pour tout entier
on a :
Donc la suite
est une suite géométrique de raison
et de premier terme
.
b. En déduire que, pour tout entier naturel ![](/image/im000261.png)
![](/image/im003343.png)
![](/image/im000296.png)
![](/image/im000334.png)
![](/image/im003344.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003345.png)
On a pour tout entier
:
Comme
, on obtient
.
4. Soit la fonction ![](/image/im000261.png)
![](/image/im003346.png)
![](/image/im003347.png)
![](/image/im003348.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im003180.png)
![](/image/im003349.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000016.png)
On a une forme indéterminée, pour lever l'indétermination on factorise par
.
Pour tout
,
.
(croissances comparées)
par soustraction de
,
.
Pour finir, par produit,
.
b. En déduire la limite de la suite ![](/image/im000153.png)
![](/image/im002696.png)
![](/image/im003350.png)
![](/image/im001658.png)
![](/image/im001589.png)
![](/image/im003351.png)
![](/image/im003352.png)
![](/image/im000060.png)
Pour tout entier
, on écrit :
.
On a vu dans la question a. que
, donc en composant avec l'exponentielle on obtient
.
![](/image/im000261.png)
![](/image/im003353.png)
![](/image/im003352.png)
![](/image/im003354.png)