Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de juin 2012 aux Antilles
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On note
l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction 
définie sur par
sa courbe représentative dans un repère orthonormé 
.
Partie A : étude de la fonction
1. Déterminer la limite de en 
.
Que peut-on en déduire pour la courbe ?
On écrit 
.
On sait par croissances comparées que 
donc :
par produit 
et par somme 
.
On en déduit que la courbe admet en une asymptote « horizontale » d'équation 
.
.
On sait par croissances comparées que donc :
par produit et par somme .
On en déduit que la courbe admet en une asymptote « horizontale » d'équation .
2. Déterminer la limite de
en 
.
On a 
et par composition 
.
Par produit 
et en ajoutant 1 on obtient 
.
3. On admet que et par composition .
Par produit et en ajoutant 1 on obtient .
est dérivable sur , et on note 
sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout réel 
.
On peut écrire 
avec :
En utilisant la formule de dérivation d'un produit il vient :
avec :
En utilisant la formule de dérivation d'un produit il vient :
4. Etudier les variations de
sur et dresser son tableau de variation sur .
Pour tout 
, 
, donc le signe de 
est le même que celui du binôme du premier degré 
.
Ce binôme s'annule pour 
et on a le tableau de variation :
, , donc le signe de est le même que celui du binôme du premier degré .
Ce binôme s'annule pour et on a le tableau de variation :
Partie B : recherche d'une tangente particulière
Soit
un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe au point d'abscisse , qui passe par l'origine du repère.
1. On appelle T
la tangente à au point d'abscisse . Donner une équation de T.
L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse est :
2. Démontrer qu'une tangente à est :
en un point d'abscisse strictement positive passe par l'origine du repère si et seulement si vérifie l'égalité
D'après la question précédente, l'ordonnée à l'origine de la droite 
est 
et donc cette droite passe par l'origine si et seulement si 
.
3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.
Démontrer que est et donc cette droite passe par l'origine si et seulement si .
est l'unique solution sur l'intervalle 
de l'équation
On vérifie déjà que 1 est bien solution de l'équation proposée : 
.
Il reste à montrer l'unicité. Pour cela on considère la fonction 
définie sur 
par :
Pour 
, 
, et 
, donc 
et s'annule uniquement pour 
, ainsi la fonction est strictement décroissante, plus précisément on a
le tableau de variation :
La fonction est continue et strictement décroissante sur avec :
, d'après le théorème des valeurs intermédiaires on peut dire que l'équation 
, c'est à dire 
possède une unique solution
sur .
Donc 1 est l'unique solution sur 
de l'équation .
4. Donner alors une équation de la tangente recherchée.
.
Il reste à montrer l'unicité. Pour cela on considère la fonction définie sur par :
Pour , , et , donc et s'annule uniquement pour , ainsi la fonction est strictement décroissante, plus précisément on a
le tableau de variation :
est continue et strictement décroissante sur avec :
, d'après le théorème des valeurs intermédiaires on peut dire que l'équation , c'est à dire possède une unique solution
sur .
Donc 1 est l'unique solution sur de l'équation .
D'après ce qui précède, pour répondre à la question il faut prendre 
, ce qui donne l'équation 
soit 
.
, ce qui donne l'équation soit .
Partie C : calcul d'aire
Le graphique donné ci-dessous représente la courbe de la fonction dans un repère orthonormé .
d'équation 
. On admet que la courbe est au-dessus de la droite . Hachurer le domaine 
limité par la courbe la droite , la droite d'équation 
et l'axe des ordonnées.
.
On admet que I
.
Dans le sujet original les élèves doivent calculer l'intégrale I en utilisant la méthode d'intégration par parties.
Cette méthode n'est plus dans les programmes à partir de la rentrée 2012.
3. En déduire la valeur exacte (en unités d'aire) de l'aire du domaine .
Compte tenu de la position de et , l'aire considérée s'obtient en calculant :
Donc l'aire de vaut 
u.a.
et , l'aire considérée s'obtient en calculant :
Donc l'aire de vaut u.a.
