Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de novembre 2012 en Amérique du sud
Cacher les corrigés
L'espace est muni d'un repère orthonormé![](/image/im000105.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im004194.png)
![](/image/im004195.png)
1. Les points d'intersection du plan
![](/image/im001860.png)
Soit A
le point d'intersection de
avec l'axe des abscisses, alors on a :
Donc A
On détermine de même sans difficulté les coordonnées du point B d'intersection avec l'axe des ordonnées :
Donc B
Enfin, on trouve les coordonnées du point C d'intersection avec l'axe des cotes :
Donc C
On calcule maintenant les longueurs des côtés du triangle ABC :
Ainsi les trois côtés du triangle sont de longueurs différentes donc ABC n'est pas isocèle.
L'affirmation est FAUSSE.
![](/image/im004196.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im004197.png)
![](/image/im004198.png)
![](/image/im004199.png)
![](/image/im004200.png)
![](/image/im004201.png)
![](/image/im004202.png)
![](/image/im004203.png)
![](/image/im004204.png)
![](/image/im004205.png)
2. La droite
![](/image/im004206.png)
![](/image/im004207.png)
![](/image/im001860.png)
La droite
passe par le point de coordonnées
(on obtient ce point en prenant
dans la représentation paramétrique).
or
donc ce point n'appartient pas à
et la droite ne peut pas être incluse dans
.
L'affirmation est FAUSSE.
3. La droite ![](/image/im004208.png)
![](/image/im004209.png)
![](/image/im004210.png)
![](/image/im004211.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im004212.png)
![](/image/im004213.png)
![](/image/im004206.png)
Par lecture sur les représentations paramétriques les droites
et
ont pour vecteurs
directeurs respectivement
et
Ces deux vecteurs sont colinéaires donc
et
sont parallèles.
Il reste à vérifier que
passe par S, pour cela on résout :
On aboutit à un système qui a une solution donc la droite
passe pas S.
L'affirmation est VRAIE.
4. Le projeté orthogonal du point S sur le plan ![](/image/im004208.png)
![](/image/im004214.png)
![](/image/im004215.png)
![](/image/im004216.png)
![](/image/im004208.png)
![](/image/im004214.png)
![](/image/im004214.png)
![](/image/im004225.png)
![](/image/im004214.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im004218.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im001860.png)
On note H
.
On remarque déjà que le point H appartient au plan
car :
Il reste à vérifier que
est orthogonal au plan
.
Un vecteur du plan
est
(lecture sur l'équation cartésienne).
On remarque que
, donc
est orthogonal au plan
.
L'affirmation est VRAIE.
![](/image/im004219.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im004220.png)
![](/image/im004221.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im004222.png)
![](/image/im001860.png)
![](/image/im004223.png)
![](/image/im004224.png)
![](/image/im004221.png)
![](/image/im001860.png)
La dernière question de ce sujet nécessite l'utilisation de la formule de la distance d'un point à un plan. Cette formule ne figure plus dans les programmes.