Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de novembre 2012 en Amérique du sud
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Au cours d'une séance, un joueur de tennis s'entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel non nul, on note![](/image/im004161.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im004162.png)
![](/image/im004163.png)
![](/image/im004161.png)
![](/image/im004164.png)
![](/image/im004162.png)
![](/image/im004165.png)
- si le joueur réussit le
-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut
;
- si le joueur ne réussit pas le
-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut
.
1. On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement. Soit
![](/image/im000055.png)
![](/image/im000055.png)
![](/image/im004167.png)
![](/image/im004168.png)
![](/image/im004169.png)
![](/image/im000055.png)
![](/image/im004193.png)
2. On s'intéresse maintenant au cas général. a. Donner les probabilités conditionnelles
![](/image/im004171.png)
![](/image/im004172.png)
D'après l'énoncé on a directement :
et
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul ![](/image/im004173.png)
![](/image/im004174.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im004175.png)
On se place à l'étape
:
et
constituent un système complet d'événements, donc d'après la formule des probabilités totales :
or
(car
et
sont complémentaires), donc
.
En remplaçant il vient :
3. Soit la suite ![](/image/im000061.png)
![](/image/im004176.png)
![](/image/im004177.png)
![](/image/im004178.png)
![](/image/im004179.png)
![](/image/im004176.png)
![](/image/im004177.png)
![](/image/im004180.png)
![](/image/im004181.png)
![](/image/im000060.png)
![](/image/im004182.png)
![](/image/im000060.png)
Pour tout entier naturel
non nul on a :
Donc
est une suite géométrique de raison
et de premier terme :
.
b. En déduire la limite de la suite ![](/image/im000061.png)
![](/image/im004183.png)
![](/image/im000102.png)
![](/image/im002249.png)
![](/image/im004184.png)
![](/image/im004185.png)
D'après la question précédente on a :
De
, on tire
soit
Comme
;
.
Donc par opérations sur les limites :
.
![](/image/im004186.png)
![](/image/im004187.png)
![](/image/im004188.png)
![](/image/im004189.png)
![](/image/im004190.png)
![](/image/im004191.png)
![](/image/im004192.png)