Corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de novembre 2012 en Amérique du sud
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Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé
(unité graphique 2 cm).
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
qui à tout point 
du plan d'affixe 
, distinct de A, associe le point 
d'affixe
1. Déterminer l'ensemble des points
d'affixe tels que 
(ensemble des points invariants par la transformation ).
Il s'agit de résoudre pour 
:
Donc la transformation admet 2 points invariants qui sont le point O et le point d'affixe 
.
2. Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points B' et C', images respectives des points B et C par :
Donc la transformation admet 2 points invariants qui sont le point O et le point d'affixe ..
3.a. Montrer que, pour tout point
distinct de A, l'affixe 
de vérifie l'égalité :
Pour 
:
b. En déduire que si le point :
appartient au cercle 
de centre A et de rayon 1,
alors son image appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
On interprète la relation précédente en terme de module :
Si 
alors A
soit 
, donc l'égalité devient : 
, ce qui traduit la relation B
.
Donc le point M' appartient au cercle 
de centre B et de rayon 2.
c. Exprimer une mesure de l'angle
Si alors A soit , donc l'égalité devient : , ce qui traduit la relation B.
Donc le point M' appartient au cercle de centre B et de rayon 2.
en fonction d'une mesure de l'angle 
.
. Vérifier que D appartient au cercle .
Construire, à la règle et au compas, le point D et son image D' par .
Pour vérifier que D appartient à on calcule :
Donc D appartient bien à .
Pour construire D' à la règle et au compas on sait que :
sur le cercle tel que 
(D est le symétrique de D par la symétrie d'axe 
.
On construit la droite (AD) et la droite parallèle à (AD) qui passe par B, celle-ci coupe le cercle en deux points, le point D' est celui
pour lequel 
et 
sont de même sens.
Figure :
on calcule :
Donc D appartient bien à .
Pour construire D' à la règle et au compas on sait que :
- D'
(question 3.b.)
-
sur le cercle tel que
(D est le symétrique de D par la symétrie d'axe .
On construit la droite (AD) et la droite parallèle à (AD) qui passe par B, celle-ci coupe le cercle en deux points, le point D' est celui
pour lequel et sont de même sens.
Figure :
La dernière question du sujet original traite de barycentres. Les barycentres ne sont plus au programme depuis la rentrée 2012.
