Bac de maths

Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de novembre 2012 en Amérique du sud

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Partie A

1. L'objet de cette question est de démontrer que .
On suppose connus les résultats suivants :

 

 

1. Soit la fonction définie sur par .
Montrer que pour tout de .
La fonction est dérivable sur et on a a : .
Pour tout réel , on sait que donc soit .
On en déduit que est strictement croissante avec .
Donc pour tout , c'est à dire .
On peut voir cela facilement sur le tableau de variations :
b. En déduire que .
Pour tout :
Or , donc par comparaison : .

 

 

2. Soit la fonction définie sur par .
a. Etudier la limite de la fonction en .
On écrit
  • avec et par inverse :
  • Finalement, par composition : (on peut poser ).
b. Etudier les variations de la fonction , puis dresser son tableau de variations sur .
La fonction est dérivable sur et on a :
Le signe de la dérivée est le même que celui de et on a le tableau de variations :

Partie B

Les questions 1 et 2 du sujet original traitent d'équations différentielles. Cette notion n'est plus au programme à partir de la rentrée 2012/2013.
3. On donne l'algorithme suivant :
est la fonction étudiée dans la partie A.
a. A l'aide de la question 2. a. de la partie A, expliquer pourquoi il est certain que cet algorithme donne une valeur en sortie.
Cet algorithme s'arête car .
b. Quelle est la valeur de la variable obtenue à la sortie de l'algorithme ?
L'algorithme retourne la première valeur entière telle que .
En utilisant la fonction table de la calculette on a et , donc .

 

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