Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de mai 2014 en Amérique du nord
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Un volume constant de 2 200 m d'eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine.
Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
au départ, le bassin A contient d'eau et le bassin B contient d'eau ;
tous les jours, 15 % du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
tous les jours, 10 % du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
Pour tout entier naturel , on note :
le volume d'eau, exprimé en , contenu dans le bassin A à la fin du -ième jour de fonctionnement ;
le volume d'eau, exprimé en , contenu dans le bassin B à la fin du -ième jour de fonctionnement.
On a donc et .
1. Par quelle relation entre et traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ?
2. Justifier que, pour tout entier naturel , .
En traduisant les transferts d'eau entre bassins on a facilement :
Comme de plus , il vient : .
On remplace dans l'expression de :
3. L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de à partir de laquelle est supérieur ou égal à 1100.
Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
| Variables : | est un entier naturel |
| est un réel | |
| Initialisation : | Affecter à la valeur 0 |
| Affecter à la valeur 800 | |
| Traitement : | Tant que faire : |
| Affecter à la valeur ... | |
| Affecter à la valeur | |
| Fin Tant que | |
| Affecter à la valeur ... | |
| Sortie : | Afficher |
| Variables : | est un entier naturel |
| est un réel | |
| Initialisation : | Affecter à la valeur 0 |
| Affecter à la valeur 800 | |
| Traitement : | Tant que faire : |
| Affecter à la valeur | |
| Affecter à la valeur | |
| Fin Tant que | |
| Affecter à la valeur | |
| Sortie : | Afficher |
4. Pour tout entier naturel , on note .
a. Montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Pour tout entier naturel on a :
Cela montre que la suite est une suite géométrique de raison .
Son premier terme est .
b. Exprimer en fonction de .
En déduire que, pour tout entier naturel , .
Comme est une suite géométrique on a la formule explicite : .
De la relation , il vient : et du coup :
5. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau.
Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.
Si les deux bassins ont le même volume d'eau, alors chacun contient .
On peut alors résoudre :
avec .
Nous n'obtenons pas un nombre « exactement » entier, il est donc utile de regarder ce qu'il se passe pour :
(et ).
Donc les deux bassins ont le même volume d'eau au mètre cube près à la fin du 3ème jour.
