Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de mai 2013 en Amérique du nord

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 Soit la fonction définie sur l'intervalle par
et soit la courbe représentative de la fonction dans un repère du plan. La courbe est donnée ci-dessous :

 

 

1.a. Etudier la limite de en .
Limite à droite en 0
par valeurs positives ;
et en ajoutant 1 : .
Enfin, par quotient .
b. Que vaut ? En déduire la limite de la fonction en .
On sait que (par valeurs positives).
Pour déterminer la limite de en et lever l'indétermination en exploitant le résultat énoncé ci-dessus on écrit :
.
  • ; et par produit : .
Finalement par somme : .
c. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe .
Le résultat obtenu à la question a. entraîne que admet une asymptote verticale d'équation (axe des ordonnées).
Le résultat obtenu à la question b. entraîne que admet en une asymptote horizontale d'équation (axe des abscisses).

 

 

2.a. On note la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle .
Démontrer que, pour tout réel appartenant à l'intervalle ,
La fonction est dérivable sur et on peut écrire :
avec :
;
;
b. Résoudre sur l'intervalle l'inéquation .
En déduire le signe de sur l'intervalle .
Sur on a :
On a de même : et et on a le tableau de signes :
c. Dresser le tableau des variations de la fonction .
.
3.a. Démontrer que la courbe a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
On résout sur l'équation :
Du coup la fonction s'annule sur uniquement pour ce qui donne un unique point d'intersection de avec l'axe des abscisses dont les coordonnées sont .
b. En déduire le signe de sur l'intervalle .
En exploitant ce qui précède on obtient facilement le tableau de signes :
4. Pour tout entier , on note l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations respectives et .
a. Démontrer que .
On peut déjà remarquer que pour tout , la fonction est continue et positive sur l'intervalle et du coup
D'après l'étude des variations de la fonction , pour tout :
L'intégration de à 2 conserve l'ordre (car ) donc on a :
On admet que la fonction , définie sur l'intervalle par est une primitive de la fonction sur l'intervalle .
b. Calculer en fonction de .
c. Etudier la limite de en . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
On écrit : .
et (limite connue) ;
donc
Finalement en ajoutant on obtient .
L'aire du domaine délimité par la droite d'équation ; l'axe des abscisses et la courbe vaut u.a. (domaine illimité à droite).

 

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