Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de mai 2013 en Amérique du nord
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Soit![](/image/im000063.png)
![](/image/im001811.png)
![](/image/im005041.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im005042.png)
1.a. Etudier la limite de
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000096.png)
Limite à droite en 0
par valeurs positives ;
et en ajoutant 1 :
.
Enfin, par quotient
.
b. Que vaut ![](/image/im003070.png)
![](/image/im000163.png)
![](/image/im005043.png)
![](/image/im000168.png)
![](/image/im005044.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000016.png)
On sait que
(par valeurs positives).
Pour déterminer la limite de
en
et lever l'indétermination en exploitant le résultat énoncé ci-dessus on écrit :
.
.
c. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe ![](/image/im001658.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im005045.png)
-
-
;
et par produit :
.
![](/image/im001659.png)
![](/image/im001096.png)
Le résultat obtenu à la question a. entraîne que
admet une asymptote verticale d'équation
(axe des ordonnées).
Le résultat obtenu à la question b. entraîne que
admet en
une asymptote horizontale d'équation
(axe des abscisses).
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000847.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im004859.png)
2.a. On note
![](/image/im001286.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im001811.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im001811.png)
![](/image/im005048.png)
La fonction
est dérivable sur
et on peut écrire :
avec :
;
;
b. Résoudre sur l'intervalle ![](/image/im000063.png)
![](/image/im000151.png)
![](/image/im003998.png)
![](/image/im001319.png)
![](/image/im001313.png)
![](/image/im002570.png)
![](/image/im002571.png)
![](/image/im005049.png)
![](/image/im000151.png)
![](/image/im005050.png)
![](/image/im001118.png)
![](/image/im001811.png)
Sur
on a :
On a de même :
et
et on a le tableau de signes :
c. Dresser le tableau des variations de la fonction ![](/image/im000151.png)
![](/image/im005051.png)
![](/image/im005052.png)
![](/image/im005053.png)
![](/image/im005054.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005055.png)
![](/image/im005056.png)
![](/image/im001096.png)
On résout sur
l'équation :
Du coup la fonction
s'annule sur
uniquement pour
ce qui donne un unique point
d'intersection de
avec l'axe des abscisses dont les coordonnées sont
.
b. En déduire le signe de ![](/image/im000151.png)
![](/image/im005057.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000151.png)
![](/image/im005058.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000211.png)
![](/image/im000178.png)
![](/image/im001811.png)
En exploitant ce qui précède on obtient facilement le tableau de signes :
4. Pour tout entier ![](/image/im005059.png)
![](/image/im001976.png)
![](/image/im001133.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000220.png)
![](/image/im005060.png)
![](/image/im005061.png)
On peut déjà remarquer que pour tout
, la fonction
est continue et positive sur l'intervalle
et du coup
D'après l'étude des variations de la fonction
, pour tout
:
L'intégration de
à 2 conserve l'ordre (car
) donc on a :
On admet que la fonction ![](/image/im000261.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005062.png)
![](/image/im005063.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005064.png)
![](/image/im005065.png)
![](/image/im003147.png)
![](/image/im005066.png)
![](/image/im005067.png)
![](/image/im000181.png)
![](/image/im000151.png)
![](/image/im005068.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im001811.png)
![](/image/im001133.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005069.png)
![](/image/im002010.png)
![](/image/im000016.png)
On écrit :
.
et
(limite connue) ;
donc
Finalement en ajoutant
on obtient
.
L'aire du domaine délimité par la droite d'équation
; l'axe des abscisses et la courbe
vaut
u.a. (domaine illimité à droite).
![](/image/im005070.png)
![](/image/im005071.png)
![](/image/im002585.png)
![](/image/im005072.png)
![](/image/im001366.png)
![](/image/im005073.png)
![](/image/im005058.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im001366.png)