Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de mai 2013 en Amérique du nord
Cacher les corrigés
On considère la suite![](/image/im000060.png)
![](/image/im004974.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im004975.png)
1. On considère l'algorithme suivant :
![](/image/im004976.png)
![](/image/im001226.png)
![](/image/im003198.png)
En faisant tourner l'algorithme à la main avec
, les variables prennent les valeurs succesives indiquées dans le tableau ci-dessous :
Donc l'algorithme affiche en sortie
b. Que permet de calculer cet algorithme ?
![](/image/im003018.png)
![](/image/im004977.png)
![](/image/im004978.png)
Cet algorithme calcule
pour la valeur de
saisie par l'utilisateur.
c. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de ![](/image/im000250.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im004979.png)
![](/image/im000060.png)
On peut conjecturer que la suite
est croissante et qu'elle converge vers 2.
![](/image/im000102.png)
2.a. Démontrer que, pour tout entier naturel
![](/image/im004980.png)
On effectue une démonstration par récurrence de la propriété
: «
».
Initialisation au rang 0
et on a
, donc
est vraie.
Hérédité
On suppose que
est vraie, c'est à dire qu'on suppose avoir :
.
On veut montrer qu'alors
est également vraie.
Donc
est vraie.
La propriété
est initialisée au rang 0 ; elle est héréditaire ; donc elle est vraie pour tout entier naturel
.
b. Déterminer le sens de variation de la suite ![](/image/im000353.png)
![](/image/im004981.png)
![](/image/im000089.png)
![](/image/im004982.png)
![](/image/im001932.png)
![](/image/im001915.png)
![](/image/im004983.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im004984.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im000353.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000060.png)
Pour tout entier naturel
, on peut écrire :
De l'inégalité
on déduit
(car
est croissante sur
) et donc
.
Du coup,
ce qui montre que la suite
est croissante.
c. Démontrer que la suite ![](/image/im000061.png)
![](/image/im004985.png)
![](/image/im004981.png)
![](/image/im004986.png)
![](/image/im004987.png)
![](/image/im000748.png)
![](/image/im004988.png)
![](/image/im000741.png)
![](/image/im000102.png)
![](/image/im000060.png)
Dans les questions précédentes on a vu que la suite
est croissante et qu'elle est majorée par 2 donc elle est convergente d'après le théorème de la convergence monotone.
3. On considère la suite ![](/image/im000102.png)
![](/image/im000947.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im004989.png)
![](/image/im000947.png)
![](/image/im000334.png)
![](/image/im004990.png)
Pour tout entier naturel
:
Donc
est une suite géométrique de raison
.
Son premier terme est
.
b. Déterminer, pour tout entier naturel ![](/image/im000061.png)
![](/image/im005209.png)
![](/image/im000296.png)
![](/image/im000334.png)
![](/image/im004992.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003475.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im003203.png)
![](/image/im000061.png)
La suite
étant géométrique de raison
et de premier terme
, on a directement la formule explicite :
et :
En remplaçant
par sa formule explicite il vient :
c. Déterminer la limite de la suite ![](/image/im000296.png)
![](/image/im000334.png)
![](/image/im004993.png)
![](/image/im004994.png)
![](/image/im004995.png)
![](/image/im001493.png)
![](/image/im004996.png)
![](/image/im000060.png)
![](/image/im004997.png)
![](/image/im004998.png)
![](/image/im004999.png)
![](/image/im001589.png)
![](/image/im005000.png)
![](/image/im005001.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005002.png)
![](/image/im005003.png)
On doit réaliser une boucle qui calcule les termes
de la suite tant que
ce qui donne :
![](/image/im000250.png)
![](/image/im005004.png)
![](/image/im005005.png)