Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de mai 2013 en Amérique du nord

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 On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
On considère les points A, B, C et D.

 

 

1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
On calcule, par exemple, les coordonnées des vecteurs et :
Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc ils ne sont pas colinéaires ce qui montre que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit la droite passant par le point D et de vecteur directeur .
a. Démontrer que la droite est orthogonale au plan (ABC).
Les vecteurs et ci-dessus sont deux vecteurs non colinéaires du plan, de plus on a :
Du coup est orthogonal aux vecteurs et ce qui entraîne que est un vecteur normal au plan (ABC) et que la droite est orthogonale à ce plan.

 

 

b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
Comme est un vecteur normal au plan (ABC), ce plan admet une équation cartésienne de la forme :
Le plan passant par le point A, les coordonnées de ce point vérifient l'équation ce qui donne :
Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
En utilisant le point D et le vecteur on peut donner directement une représentation paramétrique de la droite en question :
d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite et du plan (ABC).
Il s'agit de résoudre le système :
Donc H.
3. Soit le plan d'équation et le plan d'équation .
a. Démontrer que les plans et sont sécants.
Par lecture directe sur les équations cartésiennes on trouve des vecteurs normaux et de et :
On remarque que ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc les plans et ne sont pas parallèles et par conséquent ils sont sécants.
b. Vérifier que la droite , intersection des plans et , a pour représentation paramétrique .
Les points de la droite sont les points dont les coordonnées sont , on vérifie que ces points appartiennent aux deux plans à l'aide des équations cartésiennes.
Pour :
Pour :
Donc est bien la droite d'intersection des deux plans.
c. La droite et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?
Par lecture sur la représentation paramétrique un vecteur directeur de est , on calcule le produit scalaire avec le vecteur (vecteur normal à (ABC)) ce qui donne :
Donc et sont orthogonaux ce qui montre que la droite est parallèle au plan (ABC).

 

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