Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de mai 2012 en Amérique du nord
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Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
.
On considère l'application 
du plan dans lui même qui, à tout point
M d'affixe 
, associe le point M' d'affixe 
telle que :
le point d'affixe 
.
1. Déterminer l'ensemble 
des points M du plan tels que 
.
Donc l'ensemble est constitué de deux points : O (origine du repère) et .
2. Soit A le point d'affixe
.
a. Exprimer 
sous forme exponentielle.
Le module de est 
, et on peut écrire :
b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par est , et on peut écrire :
.
On cherche 
, tel que :
, tel que :
3. Déterminer l'ensemble
des points M d'affixe
tels que l'affixe du point M' soit un nombre imaginaire pur.
On cherche , tel que 
.
Posons 
où 
et 
sont des nombres réels.
, donc 
.
Du coup l'ensemble des points M
cherchés a pour équation cartésienne :
Donc est constitué de la réunion des points des droites d'équations 
et 
.
4. Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble
, tel que .
Posons où et sont des nombres réels.
, donc .
Du coup l'ensemble des points M cherchés a pour équation cartésienne :
Donc est constitué de la réunion des points des droites d'équations et .
des points M distincts de pour lesquels le
triangle MM' est rectangle isocèle direct en .
a. On admet que M est un point de si et
seulement si 
et 
.
Dans le sujet original la relation indiquée doit être établie en utilisant une rotation.
Depuis la rentrée 2012, les rotations ne sont plus au programme.
b. Montrer que 
.
.
En utilisant les deux questions précédentes M
équvaut à :
Donc l'ensemble est constitué d'un unique point, le point d'affixe 
.
5. Soit M un point d'affixe équvaut à :
Donc l'ensemble est constitué d'un unique point, le point d'affixe .
différente de 
et de .
a. Exprimer 
en fonction d'un argument de .
Pour 
et 
on a :
donc 
.
b. En déduire l'ensemble et on a :
donc .
des points M distincts de
O et de tels que O, M et M' soient alignés.
Pour tout point M d'affixe , distinct de O et , O, M et M' sont alignés équivaut à
ou 
, soit 
ou 
.
Donc l'ensemble est constitué des points de l'axe des abscisses privé de O et .
, distinct de O et , O, M et M' sont alignés équivaut à
ou , soit ou .
Donc l'ensemble est constitué des points de l'axe des abscisses privé de O et .
