Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de mai 2012 en Amérique du nord
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Cet exercice est complétement hors programme à compter de la session 2013 du baccalauréat.
Soit ![](/image/im000063.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im002718.png)
![](/image/im000063.png)
Partie A
1. Déterminer le sens de variation de![](/image/im000063.png)
![](/image/im000072.png)
De manière évidente, pour tout
, on a
, donc
est strictement croissante sur
.
![](/image/im002014.png)
![](/image/im002719.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000072.png)
2. Soit
![](/image/im000203.png)
![](/image/im002153.png)
![](/image/im002720.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im002153.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im002153.png)
![](/image/im002721.png)
La fonction
est composée de la fonction
définie et dérivable sur
à valeurs dans
suivie de la fonction
définie et dérivable sur
, donc
est définie et dérivable sur
.
En utilisant la formule de la dérivée d'une composée on a pour tout
:
![](/image/im000203.png)
![](/image/im002722.png)
![](/image/im002153.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im002153.png)
![](/image/im002723.png)
![](/image/im002724.png)
b. Montrer que, pour tout
![](/image/im000153.png)
![](/image/im002153.png)
![](/image/im002725.png)
![](/image/im002726.png)
La fonction
est une primitive de la fonction constante 1, donc
avec
.
Comme
, on a
, soit
.
Donc finalement,
.
On calcule maintenant :
Du coup,
.
3. Montrer que, pour tout ![](/image/im000203.png)
![](/image/im002727.png)
![](/image/im002728.png)
![](/image/im002729.png)
![](/image/im002730.png)
![](/image/im002731.png)
![](/image/im002732.png)
![](/image/im002733.png)
![](/image/im002734.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im002735.png)
On a vu que
est strictement croissante donc :
.
![](/image/im000063.png)
![](/image/im002736.png)
Partie B
Soit![](/image/im002737.png)
![](/image/im002738.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im002739.png)
![](/image/im002740.png)
Pour calculer
, on pose :
.
Les fonctions
et
qui interviennent sont définies et dérivables sur
et à dérivées continues donc on a d'après
la formule d'intégration par parties :
car
et comme sur
la fonction
est strictement positive, une primitive de
est
.
Pour finir :
2.a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul ![](/image/im002741.png)
![](/image/im002742.png)
![](/image/im002743.png)
![](/image/im001321.png)
![](/image/im001320.png)
![](/image/im000186.png)
![](/image/im000004.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im002744.png)
![](/image/im002745.png)
![](/image/im000072.png)
![](/image/im002746.png)
![](/image/im002747.png)
![](/image/im002748.png)
![](/image/im002749.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im002750.png)
Pour tout
et tout entier naturel
, on a :
et
.
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul ![](/image/im002014.png)
![](/image/im002751.png)
-
,
-
(question A.3.).
![](/image/im002754.png)
![](/image/im002755.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im002756.png)
On a vu (question A.3.) que pour tout
,
et donc
.
L'intégration conserve l'ordre (quand la borne basse est inférieur à la borne haute, ce qui est le cas ici), donc :
![](/image/im002759.png)
avec :
Donc on a bien,
.
c. En déduire la limite de la suite ![](/image/im002014.png)
![](/image/im002757.png)
![](/image/im002758.png)
![](/image/im002759.png)
![](/image/im002760.png)
![](/image/im002761.png)
![](/image/im002762.png)
Soit la suite
définie pour tout entier
, par
.
On a
et par produit
.
Du coup,
avec
.
Donc d'après le théorème des gendarmes la suite
converge vers 0.
![](/image/im000102.png)
![](/image/im002751.png)
![](/image/im002763.png)
![](/image/im002026.png)
![](/image/im002764.png)
![](/image/im002765.png)
![](/image/im002496.png)
![](/image/im002762.png)