Corrigé de l'exercice 2 de maths du bac S de mai 2012 en Amérique du nord
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Partie A : Restitution organisée de connaissances
On rappelle que![](/image/im002688.png)
![](/image/im002689.png)
Pour tout
, on considère l'expression
.
Posons
.
On a
.
Du coup on a :
.
En utilisant le prérequis et par inverse on obtient le résultat 0.
![](/image/im000827.png)
![](/image/im002690.png)
![](/image/im002691.png)
![](/image/im002692.png)
![](/image/im002693.png)
Partie B
On considère la fonction![](/image/im000063.png)
![](/image/im001162.png)
![](/image/im002694.png)
![](/image/im000836.png)
![](/image/im002555.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im001162.png)
![](/image/im002695.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im001162.png)
Pour tout
,
, donc
et de même
.
Donc
(qui est la somme de
et
) est également positif.
2.a. Montrer que, pour tout ![](/image/im002696.png)
![](/image/im002697.png)
![](/image/im002698.png)
![](/image/im002699.png)
![](/image/im000825.png)
![](/image/im002700.png)
![](/image/im001435.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im001162.png)
![](/image/im002701.png)
La fonction
est définie et dérivable sur
et on a :
, avec :
![](/image/im000063.png)
![](/image/im001162.png)
![](/image/im002702.png)
![](/image/im001312.png)
![](/image/im001313.png)
![](/image/im001320.png)
![](/image/im001321.png)
![](/image/im002703.png)
b. En déduire le sens de variation de
![](/image/im000063.png)
![](/image/im001162.png)
Pour
, le signe de
est le même que celui de
.
On a vu que pour tout
,
(et
ne s'annule que pour
), on en déduit que
est strictement croissante sur
.
c. On considère la droite ![](/image/im002696.png)
![](/image/im001118.png)
![](/image/im000825.png)
![](/image/im002696.png)
![](/image/im000830.png)
![](/image/im000825.png)
![](/image/im000213.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im001162.png)
![](/image/im002704.png)
![](/image/im001574.png)
Dans l'énoncé original il faut établir que
est une asymptote oblique à la courbe
.
La notion d'asymptote oblique est hors programme à compter de la rentrée scolaire 2012.
d. Etudier la position de la courbe ![](/image/im000140.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im000836.png)
![](/image/im002704.png)
On étudie le signe de
.
Pour
, le signe de l'expression est le même que celui de
soit négatif (et nul pour
).
On en déduit que :
3. Pour tout entier naturel ![](/image/im002705.png)
![](/image/im002696.png)
![](/image/im002565.png)
![](/image/im000213.png)
- pour
,
et
se coupent,
- pour
,
est au dessus de
.
![](/image/im000326.png)
![](/image/im002706.png)
![](/image/im002707.png)
![](/image/im000326.png)
![](/image/im000836.png)
![](/image/im002704.png)
![](/image/im000326.png)
![](/image/im002708.png)
![](/image/im002706.png)
![](/image/im002707.png)
![](/image/im002709.png)
Comme on vient de voir que pour tout
,
est au dessus de
on en déduit que pour tout entier
on a :
b. Ecrire un algorithme déterminant le plus petit entier ![](/image/im001080.png)
![](/image/im002704.png)
![](/image/im000836.png)
![](/image/im002710.png)
![](/image/im002711.png)
![](/image/im002712.png)
![](/image/im002708.png)
![](/image/im002412.png)
Variables
k : nombre entier
distance : nombre réel
Initialisation
Traitement
Tant que distance
faire
Fin Tant que
Sortie
Afficher k
![](/image/im002713.png)
![](/image/im002714.png)
![](/image/im002715.png)
![](/image/im002716.png)
![](/image/im002717.png)