Bac de maths

Corrigé de l'exercice 2 de maths du bac S de mai 2012 en Amérique du nord

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Partie A : Restitution organisée de connaissances

On rappelle que .
Démontrer que .
Pour tout , on considère l'expression .
Posons .
On a .
Du coup on a :
.
En utilisant le prérequis et par inverse on obtient le résultat 0.

 

 

Partie B

On considère la fonction définie sur par
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal .
1. Soit la fonction définie sur par
Montrer que la fonction est positive sur .
Pour tout , , donc et de même .
Donc (qui est la somme de et ) est également positif.
2.a. Montrer que, pour tout de , .
La fonction est définie et dérivable sur et on a :
, avec :

 

 

b. En déduire le sens de variation de sur .
Pour , le signe de est le même que celui de .
On a vu que pour tout , (et ne s'annule que pour ), on en déduit que est strictement croissante sur .
c. On considère la droite d'équation .
Dans l'énoncé original il faut établir que est une asymptote oblique à la courbe . La notion d'asymptote oblique est hors programme à compter de la rentrée scolaire 2012.
d. Etudier la position de la courbe par rapport à la droite .
On étudie le signe de .
Pour , le signe de l'expression est le même que celui de soit négatif (et nul pour ).
On en déduit que :
  • pour , et se coupent,
  • pour , est au dessus de .
3. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, on note respectivement et les points d'abscisse de et .
a. Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, la distance entre les points et est donnée par .
Comme on vient de voir que pour tout , est au dessus de on en déduit que pour tout entier on a :
b. Ecrire un algorithme déterminant le plus petit entier supérieur ou égal à 2 tel que la distance soit inférieur ou égale à .
Variables
k : nombre entier
distance : nombre réel
Initialisation
Traitement
Tant que distance faire
Fin Tant que
Sortie
Afficher k

 

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