Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2015 en métropole
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1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue
:
Le discriminant associé à l'équation est .
Comme il est négatif, l'équation a deux solutions complexes conjuguées qui sont :
et
2. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct .
On considère les points A, B et C d'affixes respectives ,
et
.
a) Calculer le module et un argument du nombre .
On cherche un argument tel que :
et
, on prend
.
b) Donner la forme exponentielle des nombres et
.
En utilisant les résultats de la question précédente on a directement :
On remarque que , donc
c) Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon.
.
Du coup : les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 8.
d) Placer les points A, B et C dans le repère .
Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
3. On considère les points A, B
et C
d'affixes respectives
,
et
.
a) Montrer que .
.
b) Calculer le module et un argument du nombre .
Module de : 8
Argument de :
.
Pour la suite on admet que et
.
4. On admet que si et
sont deux points du plan d'affixes respectives
et
alors le milieu
du segment
a pour affixe
et la longueur
est égale à
.
a) On note ,
et
les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A
B],: [B
C] et [C
A].
Calculer et
. On admet que
.
b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ?
Justifier ce résultat.
On conjecture que RST est équilatéral.
Donc : le triangle est équilatéral.
Figure complète :