Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2015 en métropole

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1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue :

Le discriminant associé à l'équation est .

Comme il est négatif, l'équation a deux solutions complexes conjuguées qui sont :

et

2. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct .

On considère les points A, B et C d'affixes respectives , et .

a) Calculer le module et un argument du nombre .

On cherche un argument tel que : et , on prend .

b) Donner la forme exponentielle des nombres et .

En utilisant les résultats de la question précédente on a directement :

On remarque que , donc

c) Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon.

.

Du coup : les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 8.

d) Placer les points A, B et C dans le repère .

Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.

3. On considère les points A, B et C d'affixes respectives , et .

a) Montrer que .

.

b) Calculer le module et un argument du nombre .

Module de : 8

Argument de : .

Pour la suite on admet que et .

4. On admet que si et sont deux points du plan d'affixes respectives et alors le milieu du segment a pour affixe et la longueur est égale à .

a) On note , et les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [AB],: [BC] et [CA].

Calculer et . On admet que .

b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ?

Justifier ce résultat.

On conjecture que RST est équilatéral.

Donc : le triangle est équilatéral.

Figure complète :

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