Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de mai 2016 au Liban
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On considère la fonction 
définie sur l'intervalle 
par :
Partie A
1. Etudier le sens de variation de la fonction sur l'intervalle .
La fonction est dérivable sur 
et pour tout 
on a :
où 
Donc 
Enfin 
Pour tout :
donc 
.
Il en résulte que est croissante sur l'intervalle considéré.
2. Démontrer que pour tout réel 
de l'intervalle , 
(on rappelle que 
).
Pour tout :
3. Montrer alors que 
.
Pour calculer l'intégrale proposée nous avons besoin d'une primitive de .
Pour en trouver une nous utilisons l'expression :
avec 
.
On remarque de plus que pour tout 
, 
.
Donc une primitive sur 
de est définie par 
.
Par suite :
Partie B
Soit 
un entier naturel. On considère les fonctions 
définies sur par:
On note 
la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On considère la suite de terme général
1. On a tracé les courbes représentatives des fonctions pour variant de 1
à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe 
représentative de la fonction 
.
Pour tout ; 
.
est la fonction constante 1 sur . Sa courbe représentative est le segment de droite dessiné sur le graphique ci-dessous :
2. Soit un entier naturel, interpréter graphiquement 
et préciser la valeur de 
.
Pour tout entier naturel et pour tout , 
. Du coup 
représente l'aire du domaine (en u.a.) délimité par :
l'axe des abscisses ;
les droites d'équation
et 
;
la courbe
.
.
3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite 
?
Démontrer cette conjecture.
On conjecture que 
est décroissante car on observe que les aires des domaines successifs sont de plus en plus petites.
Pour tout entier naturel :
Or pour tout :
et par conséquent 
.
Donc pour tout entier naturel , 
, ce qui prouve que est décroissante.
4. La suite admet-elle une limite ?
Pour tout entier naturel et pour tout , on a , donc 
.
Finalement est une suite décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.
