Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de mai 2015 au Liban

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On définit la suite de la façon suivante :

pour tout entier naturel :

1. Calculer

2.a. Démontrer que, pour tout entier naturel :

Pour tout entier naturel :

b. En déduire la valeur exacte de .

En utilisant l'expression de la question précédente avec nous avons :

Du coup :

3.a. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme de rang de la suite est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur.

Variables : et sont des entiers naturels
est un réel
Entrée :Saisir
Initialisation :Affecter à la valeur ...
Traitement :Pour variant de 1 à ...
    Affecter à la valeur ...
Fin de Pour
Sortie :Afficher

Variables : et sont des entiers naturels
est un réel
Entrée :Saisir
Initialisation :Affecter à la valeur
Traitement :Pour variant de 1 à
    Affecter à la valeur
Fin de Pour
Sortie :Afficher

b. A l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

0123451050100
0,69310,30690,19310,14020,10980,09020,04750,00990,0050

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite peut-on émettre ?

On peut supposer que la suite est décroissante.

4.a. Démontrer que la suite est décroissante.

Pour tout entier naturel :

Pour tout ; ; et donc .

Du coup , c'est à dire que est décroissante.

b. Démontrer que la suite est convergente.

Pour tout entier naturel et tout : , donc , c'est à dire que .

Ainsi est une suite décroissante et minorée par 0, donc d'après le théorème de la convergence monotone, converge.

5. On appelle la limite de la suite . Démontrer que .

« En passant à la limite » dans l'égalité :

on obtient :

, soit et .

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