Corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths d'avril 2013 à Pondichéry
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PARTIE A
On désigne par
la fonction définie sur l'intervalle 
par
où 
désigne la fonction dérivée de la fonction .
On peut écrire 
avec : 
et 
d'où : 
et 
avec : et
d'où : et
2. Démontrer que l'équation
admet une solution unique 
sur l'intervalle .
Déterminer une valeur arrondie de à 0,01.
Sur , 
et 
uniquement pour 
, donc est strictement croissante sur l'intervalle considéré et on
a le tableau de variations :
La fonction est continue et strictement croissante sur avec 
et 
.
Donc on a 
et du coup d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation 
admet une unique solution sur .
En utilisant la calculette on trouve 
.
, et uniquement pour , donc est strictement croissante sur l'intervalle considéré et on
a le tableau de variations :
La fonction est continue et strictement croissante sur avec et .
Donc on a et du coup d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation admet une unique solution sur .
En utilisant la calculette on trouve .
3. On admet que la fonction F définie sur
par :
sur .
Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 
de 
.
PARTIE B
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques. Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction définie dans la partie A pour 
compris entre 0 et 6.
représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.
représente la production journalière de batteries en milliers.
1. Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités.
Il s'agit de résoudre l'équation .
On sait d'après la question A.2. que l'unique solution sur de cette équation est environ 1,68.
Donc la production atteindra 500 unités au bout de 1,68 mois soit environ 50 jours (
).
2. Déterminer une valeur arrondie à .
On sait d'après la question A.2. que l'unique solution sur de cette équation est environ 1,68.
Donc la production atteindra 500 unités au bout de 1,68 mois soit environ 50 jours ().
de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois.
Il s'agit de déterminer la valeur moyenne de sur :
.
Donc la production moyenne sur les 6 premiers mois est d'environ 0,67 milliers de batteries.
sur :
.
Donc la production moyenne sur les 6 premiers mois est d'environ 0,67 milliers de batteries.
PARTIE C
Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km. Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance
et d'écart-type 
.
1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ?
Soit 
la variable aléatoire qui donne l'autonomie des battteries.
Il s'agit de calculer 
, où suit la loi normale indiquée dans l'énoncé.
En utilisant la calculette on obtient directement : 
.
Donc la probabilité de ne pas atteindre la ville est d'environ 0,16.
2. La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse.
la variable aléatoire qui donne l'autonomie des battteries.
Il s'agit de calculer , où suit la loi normale indiquée dans l'énoncé.
En utilisant la calculette on obtient directement : .
Donc la probabilité de ne pas atteindre la ville est d'environ 0,16.
L'aller-retour représente 320 km, en utilisant la calculette on a :
.
Donc la probabilité de pouvoir faire l'aller-retour est inférieure à 0,01.
.
Donc la probabilité de pouvoir faire l'aller-retour est inférieure à 0,01.
