Corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths d'avril 2013 à Pondichéry
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PARTIE A
On désigne par![](/image/im000063.png)
![](/image/im003301.png)
![](/image/im004758.png)
![](/image/im004759.png)
![](/image/im001286.png)
![](/image/im000063.png)
On peut écrire
avec :
et
d'où :
et
![](/image/im004760.png)
![](/image/im004761.png)
![](/image/im002392.png)
![](/image/im000189.png)
![](/image/im002394.png)
![](/image/im004762.png)
2. Démontrer que l'équation
![](/image/im004763.png)
![](/image/im000198.png)
![](/image/im003301.png)
![](/image/im000198.png)
Sur
,
et
uniquement pour
, donc
est strictement croissante sur l'intervalle considéré et on
a le tableau de variations :
La fonction
est continue et strictement croissante sur
avec
et
.
Donc on a
et du coup d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation
admet une unique solution
sur
.
En utilisant la calculette on trouve
.
![](/image/im003301.png)
![](/image/im004764.png)
![](/image/im002800.png)
![](/image/im000847.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im004765.png)
![](/image/im004766.png)
![](/image/im004767.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im003301.png)
![](/image/im004768.png)
![](/image/im004769.png)
![](/image/im004770.png)
![](/image/im004771.png)
![](/image/im000198.png)
![](/image/im003301.png)
![](/image/im004772.png)
3. On admet que la fonction F définie sur
![](/image/im003301.png)
![](/image/im004773.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im003301.png)
![](/image/im000800.png)
![](/image/im004774.png)
![](/image/im004775.png)
PARTIE B
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques. Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction![](/image/im000063.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im000178.png)
Il s'agit de résoudre l'équation
.
On sait d'après la question A.2. que l'unique solution sur
de cette équation est environ 1,68.
Donc la production atteindra 500 unités au bout de 1,68 mois soit environ 50 jours (
).
2. Déterminer une valeur arrondie à ![](/image/im004771.png)
![](/image/im003301.png)
![](/image/im004776.png)
![](/image/im000800.png)
Il s'agit de déterminer la valeur moyenne de
sur
:
.
Donc la production moyenne sur les 6 premiers mois est d'environ 0,67 milliers de batteries.
![](/image/im000063.png)
![](/image/im003301.png)
![](/image/im004777.png)
PARTIE C
Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km. Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance![](/image/im004778.png)
![](/image/im004779.png)
Soit
la variable aléatoire qui donne l'autonomie des battteries.
Il s'agit de calculer
, où
suit la loi normale indiquée dans l'énoncé.
En utilisant la calculette on obtient directement :
.
Donc la probabilité de ne pas atteindre la ville est d'environ 0,16.
2. La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse.
![](/image/im000055.png)
![](/image/im004780.png)
![](/image/im000055.png)
![](/image/im004781.png)
L'aller-retour représente 320 km, en utilisant la calculette on a :
.
Donc la probabilité de pouvoir faire l'aller-retour est inférieure à 0,01.
![](/image/im004782.png)