Corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths d'avril 2013 à Pondichéry
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Le 1![](/image/im004546.png)
![](/image/im004547.png)
![](/image/im004546.png)
![](/image/im004548.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im004549.png)
![](/image/im004550.png)
Le coefficient multiplicateur associé à l'augmentation de capital est
et on a :
![](/image/im004556.png)
![](/image/im004557.png)
![](/image/im004558.png)
2. Exprimer
![](/image/im004551.png)
![](/image/im004547.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im004552.png)
D'une année à l'autre le capital subit une hausse de 2,5%,
ce qui revient à le multiplier par
et ce qui donne la relation
.
Du coup
est une suite géométrique de premier terme
et de raison
dont la formule explicite est
.
3. On donne l'algorithme suivant :
![](/image/im004559.png)
![](/image/im004560.png)
![](/image/im004561.png)
![](/image/im004562.png)
![](/image/im004559.png)
![](/image/im004563.png)
![](/image/im004553.png)
![](/image/im004554.png)
![](/image/im004555.png)
En faisant « tourner » l'algorithme à la main on obtient :
b. En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3300.
![](/image/im004564.png)
La boucle s'arrête lorsque
, donc l'affichage obtenu est 2004.
c. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3000.
![](/image/im003628.png)
L'algorithme détermine la première année à partir de laquelle au
janvier le capital atteint ou dépasse la somme S saisie en entrée.
![](/image/im004565.png)
4. Au 1
![](/image/im004546.png)
Le capital au 1
janvier de l'année 2013 est obtenu pour
, en utilisant la formule de la question 2 cela donne :
Cette somme est inférieure à 5000 €, le capital n'est pas suffisant.
5. Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1![](/image/im004546.png)
![](/image/im004566.png)
![](/image/im004567.png)
![](/image/im004546.png)
On cherche
tel que
, c'est à dire :
.
On peut déjà simplifier l'inégalité par 3000 :
.
Pour trouver
on applique la fonction logarithme à l'inégalité de nombres positifs (sans changer le sens de l'inégalité car la fonction logarithme est strictement croissante sur
) :
(A la dernière étape on divise l'inégalité par
, donc pas de changement de sens).
On a
et du coup le capital dépasse 10 fois le capital initial pour la première fois l'année de rang 94, soit le 1
janvier 2094.
![](/image/im000061.png)
![](/image/im004568.png)
![](/image/im004569.png)
![](/image/im004570.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000174.png)
![](/image/im004571.png)
![](/image/im004572.png)
![](/image/im004573.png)
![](/image/im004546.png)