Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de juin 2014 en Polynésie

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La suite est définie pour tout nombre entier naturel par :

Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang .

Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.

Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.

Algorithme 1 :

Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début
Saisir une valeur pour N
U prend la valeur 5
Pour i de 0 à N faire
Affecter à U la valeur U+1
Fin Pour
Afficher U
Fin

Algorithme 2 :

Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début
Saisir une valeur pour N
Pour i de 0 à N faire
U prend la valeur 5
Afficher U
Affecter à U la valeur U+1
Fin Pour
Fin

Algorithme 3 :

Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début
Saisir une valeur pour N
U prend la valeur 5
Pour i de 0 à N faire
Afficher U
Affecter à U la valeur U+1
Fin Pour
Fin

L'algorithme 1, n'affiche qu'une seule valeur à la fin qui correspond à .

L'algorithme 2, affiche bien valeurs, mais comme U est réinitialisé à chaque tour de boucle, l'algorithme affiche fois le nombre 5.

L'algorithme 3 convient.

2. On saisit la valeur 9 pour N, l'affichage est le suivant :

53,52,752,3752,18752,09382,04692,02342,01172,0059

Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?

La suite semble décroissante.

Partie B

On introduit une suite auxiliaire définie, pour tout entier naturel , par :

1. Montrer que est une suite géométrique.

Préciser sa raison et son premier terme .

Pour tout entier naturel on a :

Cela montre que est une suite géométrique de raison .

Son premier terme est .

2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel , on a :

On a déjà la formule explicite de la suite géométrique :

Pour tout entier naturel :

Ensuite de la relation , on tire : .

Donc on a :

3. Etudier les variations de la suite .

Comme , le sens de variation de est le même que celui de .

La suite est une suite géométrique à termes positifs dont la raison est tel que , donc la suite est décroissante.

Il s'ensuit que est également décroissante.

4. Déterminer la limite de la suite .

Comme , on a :

et par somme :

.

5. A partir de quel rang a-t-on : ?

On résout dans l'ensemble des entiers naturels :

Donc c'est à partir du rang 22 qu'on a .

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