Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac ES de maths de juin 2013 en Polynésie
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Alors qu'une entreprise A possédait le monopole de l'accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente B est autorisée à s'implanter. Lors de l'ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d'accès B, l'entreprise A possède 90 % du marché et l'entreprise B possède le reste du marché. Dans cet exercice, on suppose que chaque année, chaque internaute est client d'une seule entreprise A ou B. On observe à partir de 2010 que chaque année, 15 % des clients de l'entreprise A deviennent des clients de l'entreprise B, et 10% des clients de l'entreprise B deviennent des clients de l'entreprise A. Pour tout entier naturel![](/image/im000061.png)
![](/image/im005413.png)
![](/image/im005414.png)
![](/image/im005415.png)
![](/image/im005416.png)
![](/image/im005417.png)
![](/image/im005416.png)
![](/image/im005418.png)
![](/image/im005419.png)
Partie A
1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.![](/image/im005420.png)
Par lecture directe sur le graphe on obtient la matrice de transistion suivante :
![](/image/im005421.png)
b. Montrer qu'en 2013, l'état probabiliste est environ ![](/image/im005421.png)
![](/image/im005422.png)
L'année 2013 est de rang
, donc pour obtenir l'état probabiliste en 2013 on doit
multiplier
par
.
En utilisant la calculette on obtient :
puis
![](/image/im003018.png)
![](/image/im005423.png)
![](/image/im005424.png)
![](/image/im005425.png)
![](/image/im005426.png)
c. Déterminer l'état stable P
![](/image/im005427.png)
L'état stable P est tel que
.
On calcule déjà :
et l'égalité
donne le système :
On aboutit ainsi à une seule équation à deux inconnues, mais on n'oublie pas que
ce qui donne finalement
le système :
Donc l'état stable est
.
La matrice de transition ne comporte pas de 0, donc l'état
du système considéré
converge vers cet état stable.
![](/image/im005428.png)
![](/image/im005429.png)
![](/image/im005428.png)
![](/image/im005430.png)
![](/image/im005431.png)
![](/image/im005432.png)
![](/image/im005433.png)
![](/image/im005434.png)
Partie B
Lors d'une campagne de marketing l'entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l'entreprise 0,80 € par stylo et 1,20 € par porte-clés distribué. A la fin de la journée l'entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 €. On cherche le nombre![](/image/im005435.png)
![](/image/im000479.png)
A partir des données de l'énoncé on obtient facilement le système :
2. Montrer que le système précédent est équivalent à ![](/image/im005436.png)
![](/image/im005437.png)
![](/image/im005438.png)
On pose
, alors le produit
donne :
En posant
, l'égalité
équivaut au système de la question 1.
3. Résoudre le système à l'aide de la calculatrice. Interpréter le résultat.
![](/image/im005439.png)
![](/image/im005440.png)
![](/image/im005441.png)
![](/image/im005442.png)
![](/image/im005437.png)
Avec la calculette on trouve
et
.
L'entreprise a donc distribué 300 stylos et 250 porte-clés.
![](/image/im005443.png)
![](/image/im005444.png)