Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de juin 2013 en Polynésie
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On s'intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.
A . Etude de la zone 1
On note![](/image/im000055.png)
![](/image/im000055.png)
![](/image/im004701.png)
![](/image/im005359.png)
![](/image/im000055.png)
![](/image/im005372.png)
![](/image/im004701.png)
La courbe de densité associée à une loi normale admet un axe de symétrie verticale d'équation
. On lit sur le graphique que
.
2. On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à ![](/image/im005376.png)
![](/image/im005377.png)
![](/image/im002412.png)
En utilisant la calculette on obtient directement :
.
3. Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.
On pêche un poisson de l'espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à ![](/image/im005378.png)
![](/image/im002412.png)
Il s'agit de calculer :
.
![](/image/im005379.png)
4. On considère un nombre
![](/image/im000326.png)
![](/image/im004701.png)
![](/image/im005368.png)
Un petit dessin :
Par symétrie de la courbe de densité
, donc pour
,
on aura
et du coup l'affirmation est fausse.
![](/image/im005380.png)
![](/image/im005381.png)
![](/image/im005382.png)
![](/image/im005383.png)
B . Etude de la zone 2
1. Certains poissons de la zone 2 sont atteints d'une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades. a. Calculer la fréquence![](/image/im000063.png)
La fréquence de poissons malades dans l'échantillon est :
.
b. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95 %, de la proportion ![](/image/im005384.png)
![](/image/im000745.png)
On utilise l'intervalle de confiance vu en cours :
![](/image/im005131.png)
avec
et
ce qui donne :
2. Soit ![](/image/im005131.png)
![](/image/im005385.png)
![](/image/im005386.png)
![](/image/im005387.png)
![](/image/im000708.png)
![](/image/im000708.png)
![](/image/im005369.png)
![](/image/im005370.png)
![](/image/im005359.png)
![](/image/im000708.png)
![](/image/im005373.png)
![](/image/im005374.png)
![](/image/im005375.png)
On peut déjà éliminer la courbe 3 car elle n'est pas symétrique par rapport à
la droite d'équation
.
En revanche les courbes 1 et 2 représentent bien des fonctions de densités
de lois normales de moyenne
.
On regarde maintenant l'aplatissement des courbes (les courbes étant représentées dans des repères identiques) :
qui suit une loi normale
d'écart-type 40 est la courbe 1.
![](/image/im005388.png)
![](/image/im005389.png)
- la courbe 1 est plus aplatie que la courbe de la partie A, donc la loi normale associée à un écart-type supérieur à 30.
- la courbe 2 est moins aplatie que la courbe de la partie A, donc la loi normale associée à un écart-type inférieur à 30.
![](/image/im000708.png)