Corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de juin 2012 en Polynésie
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PARTIE A
Soit
la fonction définie sur l'intervalle 
par :
la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle .
1. Démontrer que pour tout réel 
de l'intervalle 
, 
.
avec :
Donc 
2. Etudier, pour
variant dans l'intervalle , le signe de 
, puis dresser le tableau de variations complet
de la fonction sur l'intervalle
(on donnera dans ce tableau des valeurs arrondies à 
près).
Pour tout 
, 
, donc le signe de est le même que celui de 
.
On résout : 
On a alors le tableau de variations :
Avec la calculette : 
3. En déduire le signe de la fonction , , donc le signe de est le même que celui de .
On résout :
On a alors le tableau de variations :
sur l'intervalle .
D'après le tableau de variations la fonction admet sur 
un maximum qui vaut 
. Donc pour
tout , 
.
admet sur un maximum qui vaut . Donc pour
tout , .
PARTIE B
Soient
et 
les fonctions définies sur par :
et sont décroissantes sur ;
la fonction est représentée ci-dessous par la courbe 
et la fonction par le segment de droite 
.
la fonction définie sur par : 
.
a. Montrer que pour tout 
, 
( désigne la fonction étudiée dans la partie A).
avec :
Donc 
sur .
On sait d'après la partie A que pour tout , .
Donc on a le tableau de variations :
c. Montrer que l'équation , .
Donc on a le tableau de variations :
admet une unique solution 
dans l'intervalle .
En donner une valeur approchée à 
près.
La fonction est définie, continue et strictement décroissante sur avec et .
Or 
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation admet une unique solution 
.
Avec la calculette, par balayage on obtient 
.
2. Calculer l'intégrale : est définie, continue et strictement décroissante sur avec et .
Or donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation admet une unique solution .
Avec la calculette, par balayage on obtient .
Une primitive de est définie par 
donc :
est définie par donc :
PARTIE C
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Les résultats de la partie B pourront être utilisés pour répondre aux questions suivantes. Une entreprise prévoit de fabriquer et de commercialiser mensuellement entre 1 et 4 tonnes d'un produit cosmétique (toute la production est vendue). Pour tonnes de produit fabriquées mensuellement (avec 
), on admet que 
désigne le coût de
production par tonne (en centaines de milliers d'euros), et 
le prix de vente par tonne (en centaines de milliers d'euros).
1. L'entreprise décide de produire 1 tonne par mois. Déterminer, en arrondissant à l'euro près, le coût de production de la tonne produite, son prix de vente, et le bénéfice mensuel ainsi réalisé.
La coût de production est donné par 
soit 231 764 €.
Le prix de vente est donné par 
soit 467 000 €.
Le bénéfice réalisé est donné par 
soit 235 236 €.
2. Déterminer, en euros, le prix de vente moyen par tonne pour une production comprise entre 1 et 4 tonnes.
soit 231 764 €.
Le prix de vente est donné par soit 467 000 €.
Le bénéfice réalisé est donné par soit 235 236 €.
Le prix de vente moyen par tonne pour une production comprise entre 1 et 4 tonnes est donné par :
soit 272 000 €.
3. L'entreprise souhaite réaliser un bénéfice par tonne d'au moins 100 000 euros. Quelles quantités doit-elle produire pour satisfaire cette contrainte ?
soit 272 000 €.
On remarque que 100 000 € correspond à 1 centaine de milliers d'euros.
On résout sur 
l'inéquation 
.
D'après l'étude de la question 1. de la partie B, 
.
Donc l'entreprise doit produire entre 1 tonne et 3,5 tonnes pour satisfaire la contrainte indiquée.
l'inéquation .
D'après l'étude de la question 1. de la partie B, .
Donc l'entreprise doit produire entre 1 tonne et 3,5 tonnes pour satisfaire la contrainte indiquée.
