Corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de juin 2012 en Polynésie
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PARTIE A
Soit![](/image/im000028.png)
![](/image/im004226.png)
![](/image/im004227.png)
![](/image/im004228.png)
![](/image/im000028.png)
![](/image/im004226.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im004229.png)
![](/image/im004230.png)
![](/image/im004231.png)
![](/image/im004232.png)
![](/image/im004233.png)
![](/image/im004234.png)
![](/image/im004235.png)
![](/image/im004236.png)
2. Etudier, pour
![](/image/im000153.png)
![](/image/im004226.png)
![](/image/im004237.png)
![](/image/im000028.png)
![](/image/im004226.png)
![](/image/im002412.png)
Pour tout
,
, donc le signe de
est le même que celui de
.
On résout :
On a alors le tableau de variations :
Avec la calculette :
3. En déduire le signe de la fonction ![](/image/im004238.png)
![](/image/im002824.png)
![](/image/im004237.png)
![](/image/im004239.png)
![](/image/im004240.png)
![](/image/im004241.png)
![](/image/im004242.png)
![](/image/im004243.png)
![](/image/im004244.png)
![](/image/im000028.png)
![](/image/im004226.png)
D'après le tableau de variations la fonction
admet sur
un maximum qui vaut
. Donc pour
tout
,
.
![](/image/im000028.png)
![](/image/im004245.png)
![](/image/im004246.png)
![](/image/im004238.png)
![](/image/im004247.png)
PARTIE B
Soient![](/image/im000063.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im004226.png)
![](/image/im004248.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im004229.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im004249.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im004275.png)
![](/image/im000204.png)
![](/image/im004226.png)
![](/image/im004251.png)
![](/image/im004252.png)
![](/image/im004253.png)
![](/image/im000028.png)
![](/image/im004254.png)
![](/image/im004255.png)
![](/image/im004233.png)
![](/image/im004234.png)
![](/image/im004235.png)
![](/image/im004256.png)
![](/image/im000204.png)
![](/image/im004226.png)
On sait d'après la partie A que pour tout
,
.
Donc on a le tableau de variations :
c. Montrer que l'équation ![](/image/im004238.png)
![](/image/im004247.png)
![](/image/im004503.png)
![](/image/im004258.png)
![](/image/im004259.png)
![](/image/im004260.png)
![](/image/im000198.png)
![](/image/im004226.png)
![](/image/im000201.png)
La fonction
est définie, continue et strictement décroissante sur
avec
et
.
Or
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation
admet une unique solution
.
Avec la calculette, par balayage on obtient
.
2. Calculer l'intégrale :![](/image/im000204.png)
![](/image/im004226.png)
![](/image/im004258.png)
![](/image/im004259.png)
![](/image/im004261.png)
![](/image/im004260.png)
![](/image/im004262.png)
![](/image/im004263.png)
![](/image/im004264.png)
Une primitive de
est définie par
donc :
![](/image/im000203.png)
![](/image/im004265.png)
![](/image/im004266.png)
PARTIE C
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Les résultats de la partie B pourront être utilisés pour répondre aux questions suivantes. Une entreprise prévoit de fabriquer et de commercialiser mensuellement entre 1 et 4 tonnes d'un produit cosmétique (toute la production est vendue). Pour![](/image/im000153.png)
![](/image/im004267.png)
![](/image/im000178.png)
![](/image/im000825.png)
La coût de production est donné par
soit 231 764 €.
Le prix de vente est donné par
soit 467 000 €.
Le bénéfice réalisé est donné par
soit 235 236 €.
2. Déterminer, en euros, le prix de vente moyen par tonne pour une production comprise entre 1 et 4 tonnes.
![](/image/im004268.png)
![](/image/im004269.png)
![](/image/im004270.png)
Le prix de vente moyen par tonne pour une production comprise entre 1 et 4 tonnes est donné par :
soit 272 000 €.
3. L'entreprise souhaite réaliser un bénéfice par tonne d'au moins 100 000 euros. Quelles quantités doit-elle produire pour satisfaire cette contrainte ?
![](/image/im004271.png)
On remarque que 100 000 € correspond à 1 centaine de milliers d'euros.
On résout sur
l'inéquation
.
D'après l'étude de la question 1. de la partie B,
.
Donc l'entreprise doit produire entre 1 tonne et 3,5 tonnes pour satisfaire la contrainte indiquée.
![](/image/im004272.png)
![](/image/im004273.png)
![](/image/im004274.png)